Question

如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AD是邊BC上的高，AE是⊙O的直徑，連BE．
（1）求證：△ABE與△ADC相似；
（2）若AB=2BE=4DC=8，求△ADC的面積．

Answer 1

（1）證明：∵AE是⊙O的直徑，
∴∠ABE=90°，
∵AD是邊BC上的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADC=∠ABE，
∵∠E與∠C均是所對(duì)的圓周角，
∴∠E=∠C，
∴△ABE∽△ADC；

（2）解：由（1）知△ABE∽△ADC，
∴，
∴AD=4，
∴△ADC的面積=4．
分析：（1）由AE是⊙O的直徑，可得∠ABE=90°，由高可得∠ADC=90°，由弧AB所對(duì)的圓周角相等得到角相等，可得兩個(gè)三角形相似；
（2）由三角形相似可得對(duì)應(yīng)邊成比例，可求出AD的大小，利用三角形面積公式可求得△ADC的面積．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)和三角形外接圓與外心；在三角形與外接圓的題目中要注意運(yùn)用直徑所對(duì)的圓周角是直角及同弧所對(duì)的圓周角相等這兩個(gè)性質(zhì)．