Question

如圖，AB是⊙O的直徑，直線L交⊙O于C、D兩點(diǎn)，分別作直線L的垂線，垂足分別為E、F，連接OE、OF．
（1）求證CE=DF   OE=OF
（2）若AB=10，CD=8．求AE+BF的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）作OM⊥l，垂足為M，根據(jù)垂徑定理即可推出CM=DM，由平行線等分線段定理，可知ME=MF，通過(guò)等式性質(zhì)即可求出結(jié)論，（2）連接OC，由AB=10，CD=8，即可推出CM和OC的長(zhǎng)度，然后由勾股定理求得OM的長(zhǎng)度，然后由OM是梯形AEFB中位線，根據(jù)梯形中位線的性質(zhì)即可推出AE+BF=2OM=6．

解答：證明：（1）作OM⊥l，垂足為M，
∴CM=DM，
∵AE⊥l，BF⊥l，
∴OM∥AE∥BF，
又∵OA=OB，
∴ME=MF，
∴ME-CM=MF-DM，
∴CE=DF，
又∵M(jìn)E=MF，OM⊥EF，
∴OE=OF（垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等）；

（2）連接OC，
∵AB=10，
∴OC=

1

2

AB=5，
∵OM⊥CD，CD=8，
∴CM=

1

2

CD=4，
∵Rt△OCM，
∴OM=

OC2-CM

2=

52-4

2=3，
∵OA=OB，ME=MF，
∴OM是梯形AEFB中位線，
∴AE+BF=2OM=6，

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查垂徑定理，平行線的性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確的做出輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)定理，認(rèn)真的進(jìn)行計(jì)算．