Question

如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，BC=2AD，對角線AC與BD相交于點P，過點P作PE∥BC交AB于點E．
（1）求證：四邊形EBCP是等腰梯形．
（2）若直角梯形ABCD的面積為72，AB=10，求△ADC的周長．

Answer 1

（1）證明：過A作AM⊥BC，垂足為M，
∵AD∥BC，∠DCB=90°，
∴四邊形AMCD是矩形，
∵BC=2AD，
∴AD=MC=BM，
∴AM是線段BC的垂直平分線，
∴AB=AC，
又∵EP∥BC，
∴∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，
∴AE=AP，
∴EB=PC，
∵直線BE、PC相交于點A，
∴EB不平行于PC，
∴四邊形EBCP是等腰梯形．

（2）解：設(shè)AD=x，DC=y，
由（1）得：AB=AC=10，
又∵∠DCB=90°，
∴x²+y²=10²①，
又∵S_梯形ABCD=72，
∴（x+2x）•y=72，
即xy=48②，
由①、②得：（x+y）²-2xy=100，
∴（x+y）²=196，
即x+y=14，x+y=-14（不合題意舍去），
∴△ADC的周長為：x+y+AC=14+10=24．
分析：（1）首先過A作AM⊥BC，垂足為M，可證得四邊形AMCD是矩形，繼而可得AM是線段BC的垂直平分線，則可證得∠AEP=∠ABC=∠ACB=∠APE，即可得四邊形EBCP是等腰梯形．
（2）首先設(shè)AD=x，DC=y，易得x²+y²=10²①，（x+2x）•y=72，繼而求得x+y的值，則可求得△ADC的周長．
點評：此題考查了等腰梯形的判定與性質(zhì)、直角梯形的性質(zhì)以及完全平方公式的應(yīng)用．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意掌握方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．