Question

在平面直角坐標系中，點A的坐標為（0，3），點B的坐標為（-1，0），點C的坐標為（3，0），點M是△ABC外接圓的圓心．
（1）求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線的解析式及點M的坐標；
（2）設拋物線的頂點為D，Q是直線CD上一動點，請直接寫出以A、D、M、Q為頂點的四邊形為平行四邊形時的點Q的坐標；
（3）在拋物線上找求點P，使△PAB的面積與△MCD的面積之比為2：3，并求出點P的坐標．

Answer 1

解：（1）設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
∵A（0，3），B（-1，0），C（3，0），
∴，
解得，
故此拋物線的解析式為：y=-x²+2x+3；
∵點M是△ABC外接圓的圓心，B的坐標為（-1，0），點C的坐標為（3，0），
∴點M所在的直線為x=1，
∴設M（1，y），則AM=BM，即1²+（3-y）²=（-1-1）²+y²，
解得y=1，
故M（1，1）；

（2）如圖所示：
∵拋物線的解析式為y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，點D為此拋物線的頂點，
∴D（1，4），
設過CD兩點的直線解析式為y=kx+b，
∵C（3，0）、D（1，4），
∴，
解得，
故直線CD的解析式為y=-2x+6；
同理可得直線AM的解析式為y=-2x+3，
則AM∥CD，
∵點Q在直線CD上，
∴設Q（x，-2x+6），
∵四邊形ADMQ是平行四邊形，
∴AM=QD，即（x-1）²+（-2x+6-4）²=5，
解得x=0或x=2，
∴Q₁（0，6），Q₂（2，2）；

（3）如圖2，
∵D（1，4），M（1，1），C（3，0），
∵DM=4-1=3，點C到直線DM的距離為2，
∴S_△MCD=×3×2=3，
∵△PAB的面積與△MCD的面積之比為2：3，
∴S_△PAB=2，
∵A（0，3），B（-1，0），
∴AB==，
設過點A、B的直線解析式為y=ax+b，則
，
解得，
故過點A、B的直線解析式為y=3x+3，
設點P（x，-x²+2x+3），點P到直線AB的距離等于h，則
AB•h=2，h=2，
解得h=，
則=，
解得x=，
故P（）
分析：（1）設過A、B、C三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A、B、C三點的坐標代入即可求出a、b、c的值，進而求出拋物線的解析式；由于三角形外心的定義可知M點必在線段BC的垂直平分線上，且到線段A、B兩端的距離相等，故可得出點M所在線段的解析式，設出點M的坐標，由AM=BM即可得出結論；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線CD及AM的解析式，判斷出兩直線的位置關系，設出Q點的坐標，利用兩點間的距離公式即可得出Q點的坐標；
（3）先求出△MCD的面積，△PAB的面積與△MCD的面積之比為2：3，可求出△PAB的面積，利用兩點間的距離公式求出AB的長，故可得出點P到直線AB的距離，再由點P在拋物線上可設出P點坐標，利用點到直線的距離公式即可得出x的值．
點評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到待定系數(shù)法求一次函數(shù)及二次函數(shù)的解析式、平行四邊形的判定與性質、三角形的外接圓等相關知識，綜合性較強．