【題目】已知直線k>0)與雙曲線x>0)交于點(diǎn)M、N,且點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為k. .

(1) 如圖1,當(dāng)k=1時(shí).

①求m的值及線段MN的長;

②在y軸上是否是否存在點(diǎn)Q,使∠MQN=90°,若存在,請求出點(diǎn)Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(2) 如圖2,以MN為直徑作⊙P,當(dāng)⊙Py軸相切時(shí),求k值.

【答案】(1)①m=7;MN=6;②(3)k=-3.

【解析】試題分析:(1)①根據(jù)題意直接代入即可求出m的值,然后求出M、N兩點(diǎn)的坐標(biāo),根據(jù)勾股定理可求解;

如圖,過M、N作y軸的垂線于J、I,設(shè)Q(0,t),由相似三角形的性質(zhì)可求Q點(diǎn)的坐標(biāo);

(2)由雙曲線與直線聯(lián)立方程,得N(k,k+6), M(k+6,k),然后可求得MN的長,表示出P點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)相切求出結(jié)果.

試題解析:(1) m=7,MN=6。

②存在

如圖,過M、N作y軸的垂線于J、I,設(shè)Q(0,t),

由相似三角形得,

解得,

所以Q點(diǎn)的坐標(biāo)為, ;

(2)由雙曲線與直線聯(lián)立方程,得N(k,k+6), M(k+6,k),

求得MN=6,P(k+3,k+3),

∵⊙P與y軸相切,

k+3=,

所以k=-3

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①在直線l上任取兩點(diǎn)A,B;
②分別以點(diǎn)A,B為圓心,AP,BP長為半徑作弧,兩弧相交于點(diǎn)Q;
③作直線PQ. 所以直線PQ就是所求的垂線.
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①求BC的長;
②在直線MN上是否存在點(diǎn)P,使由P,B,C構(gòu)成的△PBC的周長值最小?若存在,標(biāo)出點(diǎn)P的位置并求△PBC的周長最小值;若不存在,說明理由.

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