Question

如圖，AB為⊙O的直徑，D是⊙O 上一點(diǎn)，過(guò)D點(diǎn)作直線EF，BH⊥EF交⊙O于點(diǎn)C，垂足為H，且BD平分∠ABH．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）若AB=4，BH=3，求①BD；②求由弦BD和所組成的陰影部分的面積．

Answer 1

（1）證明：連接DO，
∵BD平分∠ABH，
∴∠HBD=∠DBA，
∵BO=DO，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODB=∠HDB，
∴DO∥HB，
∵BH⊥EF，
∴∠ODH=90°，
∴EF是⊙O的切線；

（2）解：①連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
∴∠BHD=∠ADB，
∵∠HBD=∠DBA，
∴△BDH∽BAD，
∴=，
∴BD²=4×3=12，
∴BD=2；

②過(guò)點(diǎn)O作ON⊥BD于點(diǎn)N，
∵BD=2，AB=4，
∴cos∠DBA===，
∴∠DBA=30°，
∴ON=BO=×2=1，∠BON=60°，
∴∠BOD=120°，
∴弦BD和所組成的陰影部分的面積為：S_扇形BOD-S_△BOD=-×1×2=π-．
分析：（1）利用角平分線的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出DO∥HB，即可得出∠ODH=90°，進(jìn)而得出答案；
（2）①首先得出△BDH∽BAD，進(jìn)而利用相似三角形的性質(zhì)得出即可；
②利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠DBA=30°以及NO的長(zhǎng)，進(jìn)而得出∠BOD的度數(shù)，再利用扇形面積公式和三角形面積求法得出即可．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的判定與性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定和扇形面積求法和銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識(shí)，根據(jù)已知得出△BDH∽BAD是解題關(guān)鍵．