Question

如圖，在 Rt△ABC中,∠ACB＝90D是AB 邊上的一點(diǎn)，以BD為直徑的 ⊙0與邊 AC 相切于點(diǎn)E，連結(jié)DE并延長(zhǎng)，與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) F .

( 1 ）求證： BD = BF ;

( 2 ）若 BC = 12 , AD = 8 ，求 BF 的長(zhǎng)．

Answer 1

 證明：（1）連結(jié)OE，

∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED

∵⊙O與邊 AC 相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AE，∴∠OEA=90°

∵∠ACB=90°，∴∠OEA=∠ACB，∴OE∥BC，∴∠F=∠OED

∴∠ODE=∠F

∴BD=BF

（2）過D作DG⊥AC于G，連結(jié)BE，

∴∠DGC=∠ECF，DG∥BC

∵BD為直徑，∴∠BED=90°

∵BD=BF，∴DE=EF

在△DEG和△FEC中

∵∠DGC=∠ECF，∠DEG=∠FEC，DE=EF

∴△DEG≌△FEC

∴DG=CF

∵DG∥BC，∴△ADG∽△ABC

∴，∴，∴，∴或（舍去），

∴BF=BC+CF=12+4=16