Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c與y軸交于A（0，4），且拋物線經(jīng)過點(diǎn)C（-3，-2），對稱軸x=-

5

2

．
（1）求出拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)C作x軸的平行線交拋物線于B點(diǎn)，連接AC，AB，若在拋物線上有一點(diǎn)D，使得

3

2

_△ABC=S_△BCD，求D點(diǎn)的坐標(biāo)；
（3）記拋物線與x軸左交點(diǎn)為E，在A、E兩點(diǎn)之間的拋物線上有一點(diǎn)F，連接AE、FE、FA，試求出使得S_△AEF面積最大時，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)以及此時的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得出答案；
（2）根據(jù)當(dāng)y=-2時，則-2=x²+5x+4，得出BC的長，再利用A點(diǎn)坐標(biāo)得出S_△ABC，進(jìn)而得出D點(diǎn)縱坐標(biāo)，即可得出答案；
（3）首先求出直線AE的解析式為：y=x+4，設(shè)F坐標(biāo)為（m，m²+5m+4），則G坐標(biāo)為（m，m+4）得出FG=（m+4）-（m²+5m+4）=-m²-4m，
即可得出S_△AEF=

1

2

（-m²-4m）×4=-2m²-8m（-4＜m＜0），進(jìn)而得出S_△AEF面積最大時，F(xiàn)點(diǎn)的坐標(biāo)以及此時的面積．

解答：解：（1）由題意得：

c=4 9a-3b+c=-2 - b 2a =- 5 2

，
解得：

a=1 b=5 c=4

．
故拋物線解析式為：y=x²+5x+4；

（2）當(dāng)y=-2時，
-2=x²+5x+4
解得：x₁=-3，x₂=-2，
∴BC=1，
S△ABC=

1

2

×1×6=3，
∵

3

2

S△ABC=S△BCD，
∴SBCD=

3

2

×3=

9

2

，
∴

1

2

×1×h=

9

2

，
∴h=9，
∵直線BC下方的拋物線到直線BC的距離最大為：

1

4

＜9
∴點(diǎn)D位于直線BC上方且到直線BC的距離為：9，
∴y_D=7，代入拋物線得：x²+5x+4=7，
解得：x=

-5± 37

2

，
∴D₁（

-5+ 37

2

，7），D₂（

-5- 37

2

，7）；

（3）如圖，過點(diǎn)F作FG∥y軸，交AE于點(diǎn)G．由y=x²+5x+4=（x+4）（x+1），
則圖象與x軸左側(cè)交點(diǎn)為：（-4，0），再將A（0，4）代入y=kx+b，
則

b=4 -4k+b=0

，
解得：

k=1 b=4

∴直線AE的解析式為：y=x+4，
設(shè)F坐標(biāo)為（m，m²+5m+4），
則G坐標(biāo)為（m，m+4）
∴FG=（m+4）-（m²+5m+4）=-m²-4m，
S_△AEF=

1

2

（-m²-4m）×4=-2m²-8m（-4＜m＜0），
當(dāng)m=-

-8

2×(-2)

=-2時，
S_△AEF的最大面積為：S_△AEF=-2×（-2）²-8×（-2）=8，
此時F的坐標(biāo)為（-2，-2）．

點(diǎn)評：此題主要考查了三角形面積求法以及待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式和圖象上點(diǎn)的性質(zhì)等知識，利用數(shù)形結(jié)合得出D點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．