Question

【題目】如圖，一次函數(shù)y =﹣4x﹣4的圖像與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，拋物線y=的圖像經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)B．

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)E,使點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，求出此點(diǎn)E的坐標(biāo)；

（3）作直線MN平行于x軸，分別交線段AC、BC于點(diǎn)M、N．問在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得△PMN是等腰直角三角形？如果存在，求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）E；（3）或或

【解析】

（1）求出一次函數(shù)y =﹣4x﹣4與坐標(biāo)軸交點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，代入拋物線解析式進(jìn)行求解即可；

（2）點(diǎn)A，點(diǎn)B關(guān)于拋物線對稱軸x=1對稱，當(dāng)B、E、C三點(diǎn)共線時，點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小，令y=0求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出BC解析式，BC與對稱軸的交點(diǎn)即為E點(diǎn)；

（3）以直角頂點(diǎn)進(jìn)行分類，分3種情況，設(shè)M、N的縱坐標(biāo)為a，表示出相應(yīng)線段，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．

解：（1）∵一次函數(shù)y=﹣4x﹣4的圖象與x軸、y軸分別交于A、C兩點(diǎn)，

∴A （﹣1，0），C （0，﹣4），

把A （﹣1，0），C （0，﹣4）代入得

∴，解得　，

∴；

（2）∵=，

對稱軸是直線x=1，

∴A, B關(guān)于直線x=1對稱

∴直線BC與對稱軸直線x=1的交點(diǎn)即為E點(diǎn)

此時點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)C的距離之和最小．

把y=0代入，得，

解得：，，

∴B，∵C，

易求直線CB的解析式為，

把x=1代入，得y=，

∴E，

（3）∵DP∥AB

設(shè)M、N的縱坐標(biāo)為a，

AC所在直線的解析式為y=﹣4x﹣4, BC所在直線的解析式為：，

則M ，N，

①當(dāng)∠PMN=90°，MN=a+4，PM=﹣a，因?yàn)槭堑妊�直角三角形，則﹣a=a+4 則a=﹣2 則P的橫坐標(biāo)為，

即P點(diǎn)坐標(biāo)為；

②當(dāng)∠PNM=90°，PN=MN，同上，a=﹣2，則P的橫坐標(biāo)為，

即P點(diǎn)坐標(biāo)為；

③當(dāng)∠MPN=90°，作MN的中點(diǎn)Q，連接PQ，則PQ=﹣a，

又PM=PN，∴PQ⊥MN，則MN=2PQ，即：a+4=﹣2a，

解得：a=，

點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為：　，

即P點(diǎn)的坐標(biāo)為．

綜合上述P坐標(biāo)為或或．