Question

如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點，正方形DEFG的一邊EF在AB上，另一邊FG過△ABC的內(nèi)切圓圓心O₁，且點G在半圓弧上．設(shè)正方形DEFG的邊長、半圓O的半徑、⊙O₁的半徑分別為a、R、r．
（1）若正方形DEFG的頂點D在半圓上，求a：R：r；
（2）若a=10，r=4，求R的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據(jù)正方形和圓的對稱性可得OE=OF=EF，在Rt△ODE中利用勾股定理列式求解可得a=R，設(shè)BC、AC與⊙O₁的切點分別為M、N，可得四邊形O₁MCN是正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得MC=NC=r，設(shè)AF=x，BF=y，表示出AB、BC、AC，然后利用勾股定理列式整理得到x、y的關(guān)系，連接AG、BG可得△AGF和△GBF相似，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例可得=，求出a²=xy，然后整理得到R、r的方程，解方程用R表示出r，然后求出比例即可；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論把a、r的值代入進行計算即可求出R的值．
解答：解：（1）連接OD，
根據(jù)圓和正方形的對稱性可知：OE=OF=EF=a，
在Rt△ODE中，OD²=DE²+OE²，
即R²=a²+（a）²，
∴a²=R²，
解得a=R，
設(shè)BC、AC與⊙O₁的切點分別為M、N，可得四邊形O₁MCN是正方形，
∴MC=NC=r，
設(shè)AF=x，BF=y，則AN=x，BM=y，
∴AB=x+y，BC=y+r，AC=x+r，
在Rt△ABC中，AB²=BC²+AC²，
即（x+y）²=（y+r）²+（x+r）²，
∴xy=yr+xr+r²，
∵AB=x+y=2R，
∴xy=2Rr+r²，
連接AG、BG，可得Rt△AGF∽Rt△GBF，
∴=，
即=，
∴a²=xy，
∴R²=2Rr+r²，
整理得，5r²+10Rr-4R²=0，
解得r₁=R，r₂=R（舍去），
∴a：R：r=R：R：R=2：5：（-5+3）；

（2）由（1）得，a²=2Rr+r²，
∵a=10，r=4，
∴100=2×4R+16，
解得R=．
點評：本題圓的綜合題型，主要利用了正方形與圓的對稱性，勾股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，圓的內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長定理，作輔助線構(gòu)造出相似三角形是解題的關(guān)鍵．