Question

4．如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4．動點P從點A出發(fā)沿AC向終點C運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BA向點A運動，到達A點后立刻以原來的速度沿AB返回．點P，Q運動速度均為每秒1個單位長度，當點P到達C時停止運動，點Q也同時停止．連接PQ，設運動時間為t（0＜t≤5）秒．
（1）當點Q從B點向A點運動時（未到達點A）求S_△APQ與t的函數(shù)關系式；寫出t的取值范圍；
（2）在（1）的條件下，四邊形BQPC的面積能否為△ABC面積的$\frac{13}{15}$？若能，求出相應的t值；若不能，說明理由；
（3）伴隨點P、Q的運動，設線段PQ的垂直平分線為l，當l經(jīng)過點B時，求t的值．

Answer 1

分析 （1）過點P作PH⊥AB于點H，AP=t，AQ=3-t，證△AHP∽△ABC，求出PH=$\frac{4}{5}$，根據(jù)三角形面積公式求出即可；
（2）四邊形BQPC的面積若為△ABC面積的$\frac{13}{15}$，那么△APQ的面積為△ABC面積的$\frac{2}{15}$，代入（1）中的函數(shù)解析式進行計算即可得到答案；
（3）（i）當點Q從B向A運動時l經(jīng)過點B，求出CP=AP=$\frac{1}{2}$AC=2.5，即可求出t；
（ⅱ）當點Q從A向B運動時l經(jīng)過點B，求出BP=BQ=6-t，AP=t，PC=5-t，過點P作PG⊥CB于點G，證△PGC∽△ABC，求出PG=$\frac{3}{5}$（5-t），CG=$\frac{4}{5}$（5-t），BG=$\frac{4}{5}$，由勾股定理得出方程，求出方程的解即可

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5；
如圖1，過點P作PH⊥AB于點H，AP=t，AQ=3-t，
則∠AHP=∠ABC=90°，
∵∠PAH=∠CAB，
∴△AHP∽△ABC，
∴$\frac{AP}{AC}$=$\frac{PH}{BC}$，
∵AP=t，AC=5，BC=4，
∴PH=$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•（3-t）•$\frac{4}{5}$t，
即S=-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t，t的取值范圍是：0＜t＜3．

（2）在（1）的條件下，四邊形BQPC的面積能為△ABC面積的$\frac{13}{15}$．理由如下：
依題意得：-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t=$\frac{2}{15}$×$\frac{1}{2}$×3×4，即-$\frac{2}{5}$t²+$\frac{6}{5}$t=$\frac{4}{5}$．
整理，得
（t-1）（t-2）=0，
解得t₁=1，t₂=2．
又0＜t＜3，
∴當t=1或t=2時，四邊形BQPC的面積能為△ABC面積的$\frac{13}{15}$；

（3）如圖2，
（i）當點Q從B向A運動時l經(jīng)過點B，
BQ=BP=AP=t，∠QBP=∠QAP，
∵∠QBP+∠PBC=90°，∠QAP+∠PCB=90°
∴∠PBC=∠PCB，
∴CP=BP=AP=t
∴CP=AP=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×5=2.5，
∴t=2.5；
（ⅱ）如圖3，當點Q從A向B運動時l經(jīng)過點B，
BP=BQ=3-（t-3）=6-t，AP=t，PC=5-t，
過點P作PG⊥CB于點G，
則PG∥AB，
∴△PGC∽△ABC，
∴$\frac{PC}{AC}$=$\frac{PG}{AB}$=$\frac{GC}{BC}$，
∴PG=$\frac{PC}{AC}$•AB=$\frac{3}{5}$（5-t），CG=$\frac{PC}{AC}$•BC=$\frac{4}{5}$（5-t），
∴BG=4-$\frac{4}{5}$（5-t）=$\frac{4}{5}$t
由勾股定理得BP²=BG²+PG²，即（6-t）²=（$\frac{4}{5}$t）²+[$\frac{3}{5}$（5-t）]²，
解得t=$\frac{45}{14}$．
綜上所述，伴隨點P、Q的運動，設線段PQ的垂直平分線為l，當l經(jīng)過點B時，求t的值是2.5或$\frac{45}{14}$．

點評 本題考查了相似綜合題，其中需要掌握矩形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，主要考查學生分析問題和解決問題的能力，題目比較典型，但是有一定的難度．