Question

4．已知：在直角坐標系中，點A（0，6），B（8，0），點C是線段AB的中點，CD⊥OB交OB于點D，Rt△EFH的斜邊EH在射線AB上，頂點F在射線AB的左側(cè)，EF∥OA．點E從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度向點B運動，到點B停止．AE=EF，運動時間為t（秒）．
（1）在Rt△EFH中，EF=t，EH=$\frac{5}{3}$t；F（$\frac{4}{5}$t，6-$\frac{8}{5}$t）（用含有t的代數(shù)式表示）
（2）當點H與點C重合時，求t的值．
（3）設△EFH與△CDB重疊部分圖形的面積為S（S＞0），求S與t的關系式；
（4）求在整個運動過程中Rt△EFH掃過的面積．

Answer 1

分析 （1）作EM⊥OA垂足為M，由△EFH∽△AOB，得$\frac{EF}{AO}$=$\frac{EH}{AB}$，可以求出EH，由EM∥OB，得$\frac{AM}{AO}$=$\frac{EM}{OB}$=$\frac{AE}{AB}$，可以解決點F坐標．
（2）根據(jù)AE+EH=AC，列出方程即可解決．
（3）分三種情形：①如圖2中，F(xiàn)H與CD交于點M，當$\frac{15}{8}$≤t$≤\frac{15}{4}$時，②如圖3中，$\frac{15}{4}$＜t≤5時，S=S_△CDB=6，③如圖4中，當5＜t≤10時，畫出圖象求出重疊部分面積即可．
（4）如圖5中，在整個運動過程中Rt△EFH掃過的面積=S_△AFH=$\frac{1}{2}$•FH•（AO+BF），由此即可計算．

解答 解：（1）如圖1中，作EM⊥OA垂足為M，

∵AE=EF=t，AO=6，BO=8，∠AOB=90°，
∴AB=$\sqrt{A{O}^{2}+B{O}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10．
∵∠AOB=∠EFH=90°，∠EHF=∠ABO，
∴△EFH∽△AOB，
∴$\frac{EF}{AO}$=$\frac{EH}{AB}$，即$\frac{t}{6}$=$\frac{EH}{10}$，
∴EH=$\frac{5}{3}$t，
∵EM∥OB，
∴$\frac{AM}{AO}$=$\frac{EM}{OB}$=$\frac{AE}{AB}$，
∴AM=$\frac{3}{5}$t，EM=$\frac{4}{5}$t，
∴點F坐標（$\frac{4}{5}$t，6-$\frac{8}{5}$t）．
故答案分別為：t，$\frac{5}{3}$t，$\frac{4}{5}$t，6-$\frac{8}{5}$t．
（2）如圖2中，當點H與點C重合時，

AE+EH=AC，
∴t+$\frac{5}{3}$t=5，
∴t=$\frac{15}{8}$，
∴t=$\frac{15}{8}$時，點H與點C重合．
（3）當點H與點B重合時，AE+EH=AB，
∴t+$\frac{5}{3}$t=10，
∴t=$\frac{15}{4}$，
當點E與點C重合時，t=5，
當點E與點B重合時，t=10，
①如圖2中，F(xiàn)H與CD交于點M，當$\frac{15}{8}$≤t$≤\frac{15}{4}$時，
∵CH=EH-EC=EH-（AC-AE）=$\frac{5}{3}$t-5+t=$\frac{8}{3}$t-5．CM=$\frac{3}{5}$CH=$\frac{8}{5}$t-3，MH=$\frac{4}{5}$CH=$\frac{32}{15}$t-4，
∴S=$\frac{1}{2}$•CM•MH=$\frac{1}{2}$（$\frac{8}{5}$t-3）（$\frac{32}{15}$t-4）=$\frac{128}{75}$t²-$\frac{32}{5}$t+6．
②如圖3中，$\frac{15}{4}$＜t≤5時，S=S_△CDB=6，

③如圖4中，當5＜t≤10時，

∵EB=AB-AE=10-t，EM=$\frac{3}{5}$EB=6-$\frac{3}{5}$t，BM=$\frac{4}{5}$EB=8-$\frac{4}{5}$t，
∴S=$\frac{1}{2}$•EM•MB=$\frac{1}{2}$•（6-$\frac{3}{5}$t）（8-$\frac{4}{5}$t）=$\frac{6}{25}$（10-t）²．
綜上所述：S=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{128}{75}{t}^{2}-\frac{32}{5}t+6}&{（\frac{15}{8}≤t≤\frac{15}{4}）}\\{6}&{（\frac{15}{4}＜t≤5）}\\{\frac{6}{25}（10-t）^{2}}&{（5＜t≤10）}\end{array}\right.$．
（3）如圖5中，在整個運動過程中Rt△EFH掃過的面積=S_△AFH=$\frac{1}{2}$•FH•（AO+BF）=$\frac{1}{2}$•$\frac{40}{3}$•16=$\frac{320}{3}$．

點評 本題考查三角形綜合題、相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理、分段函數(shù)等知識，解題的關鍵是正確畫出圖象，學會分類討論的思想，應用的知識比較多，屬于中考壓軸題．