Question

23、已知：在△ABC中，AD為中線，如圖1，將△ADC沿直線AD翻折后點C落在點E處，連接BE和CE．
（1）求證：BE⊥CE；
（2）若AC=DC（如圖2），請在圖2中畫出符合題意的示意圖，并判斷四邊形ADBE是什么四邊形？請證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）由翻折的性質(zhì)知△ADC≌△ADE?CD=ED，而點D是BC的中點，則BD=CD=DE，由等邊對等角得到∠DCE=∠DEC，∠DBE=∠DEB，且有∠DCE+∠DEC+∠DBE+∠DEB=180°?2∠DEB+2∠CED=180°?∠DEB+∠CED=90°，即BE⊥EC；
（2）易得AEDC是菱形，故AE∥DC，且AE=DC，而點D是BC的中點，有CD=BD，則AE=BD，由一組對邊平行且相等可判定四邊形ADBE是平行四邊形．

解答：證明：∵△ADC沿直線AD翻折后點C落在點E處，
∴△ADC≌△ADE，
∴CD=ED，
∴∠DCE=∠DEC，
∵AD為中線，
∴BD=DC，
∴BD=DE，
∴∠DBE=∠DEB，
∵∠DBE+∠BEC+∠ECB=180°，即2∠DEB+2∠CED=180°，
∴∠DEB+∠CED=90°，
∴BE⊥EC．

（2）解：如圖，ADBE是平行四邊形．理由如下：
∵△ADC沿直線AD翻折后點C落在點E處，
∴△ADC≌△ADE，
∴AE=AC，DE=DC
∵AC=DC，
∴AE=AC=DE=DC，
∴AEDC是菱形，
∴AE∥DC，且AE=DC
∵AD是中線，∴BD=DC，
∴AE∥BD，且AE=BD
∴ADBE是平行四邊形．

點評：本題考查了翻折的性質(zhì)，對應邊相等，對應角相等，對應圖形全等及特殊四邊形的判定和性質(zhì)．第（1）小題也可用若三角形一邊上的中線等于該邊的一邊，則三角形是直角三角形來判定．