Question

10．如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，在BG上取點(diǎn)E，連接DE交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：DF=EF；
（2）如果AD=6，∠ADC=60°，AC⊥DC于點(diǎn)C，AC=2CF，求BE的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）連接BD交AC于點(diǎn)O．由平行四邊形的性質(zhì)可知O為BD中點(diǎn)，又因?yàn)锽G∥AF，進(jìn)而證明DF=EF．
（2）利用直角三角形的性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)定理以及平行四邊形的性質(zhì)即可求出BE的長(zhǎng)．

解答 （1）證明：連接BD交AC于點(diǎn)O．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴OB=OD，
∵BG∥AF，
∴DF=EF；

（2）解：∵AC⊥DC，∠ADC=60°，AD=6，
∴AC=4$\sqrt{3}$． 
∵OF是△DBE的中位線，
∴BE=2OF．
∵OF=OC+CF，
∴BE=2OC+2CF．
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AC=2OC．
∵AC=2CF，
∴BE=2AC=8$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、三角形的中位線定理以及在直角三角形中30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半和勾股定理的運(yùn)用．