Question

已知 關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0．
（1）求證：無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）當(dāng)Rt△ABC的斜邊長(zhǎng)a=

31

，且兩條直角邊b和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根時(shí)，求△ABC的周長(zhǎng)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△＞0即可證明無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）根據(jù)勾股定理及根與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于b，c的方程，解出b，c即可得出答案．

解答：解：（1）關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k+1）x+4k-3=0，
△=（2k+1）²-4（4k-3）=4k²-12k+13=4(k-

3

2

)2+4＞0恒成立，
故無(wú)論k取什么實(shí)數(shù)值，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）根據(jù)勾股定理得：b²+c²=a²=31①
因?yàn)閮蓷l直角邊b和c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，
則b+c=2k+1②，bc=4k-3③，
因?yàn)椋╞+c）²-2bc=b²+c²=31，
即（2k+1）²-2（4k-3）=31，
整理得：4k²+4k+1-8k+6-31=0，即k²-k-6=0，
解得：k₁=3，k₂=-2（舍去），
則b+c=2k+1=7，
又因?yàn)閍=

31

，
則△ABC的周長(zhǎng)=a+b+c=

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+7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式及勾股定理，難度較大，關(guān)鍵是巧妙運(yùn)用△＞0恒成立證明（1），再根據(jù)勾股定理和根與系數(shù)的關(guān)系列出方程組進(jìn)行解答．