Question

3．如圖，過?ABCD的對角線的交點O任意作一條直線交AB，CD分別于點E，F(xiàn)．
（1）求證：BE=DF；
（2）如果E、F分別是這條直線與CB，AD的延長線的交點，是否仍然有BE=DF？若有，請證明；
（3）當BE=$\frac{1}{m}$AB時，若△BOE的面積為S，將?ABCD的面積用含m，S的式子表示出來．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DO=BO，DC∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CDO=∠OBE，然后再利用ASA判定△FDO≌△EBO可得DF=EB；
（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得DO=BO，DA∥CB，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠E=∠F，然后再利用AAS判定△FDO≌△EBO可得DF=EB；
（3）過O作OM⊥AB，根據(jù)三角形的面積公式可得S_△ABO=mS_△BOE=mS，根據(jù)平行四邊形的面積可得S_{平行四邊形ABCD}=4S_△AOB，進而可得答案．

解答 （1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DO=BO，DC∥AB，
∴∠CDO=∠OBE，
在△FDO和△EBO中$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠EBO}\\{BO=DO}\\{∠DOF=∠EOB}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△EBO（ASA），
∴DF=EB；

（2）仍然有BE=DF，
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DO=BO，DA∥CB，
∴∠F=∠E，
在△FDO和△EBO中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠E}\\{∠FOD=∠EOB}\\{DO=BO}\end{array}\right.$，
∴△FDO≌△EBO（ASA），
∴DF=EB；

（3）如圖：過O作OM⊥AB，
∵S_△ABO=$\frac{1}{2}×$OM×AB，S_△BOE=$\frac{1}{2}$•OM×EB，BE=$\frac{1}{m}$AB，
∴S_△ABO=mS_△BOE=mS，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴S_{平行四邊形ABCD}=4S_△AOB，
∴S_{平行四邊形ABCD}=4mS．

點評 此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，以及平行四邊形的面積，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)：①邊：平行四邊形的對邊相等．②角：平行四邊形的對角相等．③對角線：平行四邊形的對角線互相平分．