Question

如圖，在△ABC中，AB＞AC＞BC，O為△ABC內(nèi)任一點，連接AO并延長，交BC于K．
（1）求證：AK+BC＜AB+AC； 
（2）求證：

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2

（AB+AC+BC）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．?

Answer 1

考點：三角形三邊關(guān)系

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)大邊對大角得到∠ACB＞∠ABC，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得到∠AKB＞∠ACB，根據(jù)等量關(guān)系得到∠AKB＞∠ABC，根據(jù)大角對大邊得到AK＜AB，再根據(jù)等量關(guān)系即可求解；
（2）先根據(jù)兩邊之和大于第三邊得出

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2

（AB+AC+BC）＜OA+OB+OC，再根據(jù)大角對大邊可得出OA+OB+OC＜AB+AC+BC即可．

解答：證明：（1）∵AB＞AC，
∴∠ACB＞∠ABC，
∵∠AKB＞∠ACB，
∴∠AKB＞∠ABC，
∴AK＜AB，
又∵BC＜AC，
∴AK+BC＜AB+AC；
（2）∵三角形中任意兩邊之和大于第三邊，
∴OA+OB＞AB，OA+OC＞AC，OB+OC＞BC，
∴2（OA+OB+OC）＞AB+AC+BC，即

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2

（AB+AC+BC）＜OA+OB+OC，
∵OA＜AB，OB＜BC，OC＜AC，
∴OA+OB+OC＜AB+AC+BC，
∴

1

2

（AB+BC+CA）＜OA+OB+OC＜AB+AC+BC．

點評：本題考查的是三角形的三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵．