Question

3．如圖，邊長(zhǎng)為5的正方形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)處，點(diǎn)A、C分別在x軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)E是OA邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），EF⊥CE，且與正方形外角平分線AG交于點(diǎn)P．
（1）求證：CE=EP；
（2）若點(diǎn)E的坐標(biāo)為（3，0），在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得四邊形BMEP是平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)：若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）在OC上截取OK=OE．連接EK，求出∠KCE=∠CEA，根據(jù)ASA推出△CKE≌△EAP，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出即可；
（2）過(guò)點(diǎn)B作BM∥PE交y軸于點(diǎn)M，根據(jù)ASA推出△BCM≌△COE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BM=CE，求出BM=EP．根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形BMEP是平行四邊形，即可求出答案．

解答 （1）證明：在OC上截取OK=OE．連接EK，

∵OC=OA，∠COA=∠BA0=90°，∠OEK=∠OKE=45°，
∵AP為正方形OCBA的外角平分線，
∴∠BAP=45°，
∴∠EKC=∠PAE=135°，
∴CK=EA，
∵EC⊥EP，
∴∠CEF=∠COE=90°，
∴∠CEO+∠KCE=90°，∠CEO+∠PEA=90°，
∴∠KCE=∠CEA，
在△CKE和△EAP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠KCE=∠PEA}\\{CK=EA}\\{∠CKE=∠EAP}\end{array}\right.$
∴△CKE≌△EAP，
∴EC=EP；

（2）解：y軸上存在點(diǎn)M，使得四邊形BMEP是平行四邊形．
如圖，過(guò)點(diǎn)B作BM∥PE交y軸于點(diǎn)M，連接BP，EM，


則∠CQB=∠CEP=90°，
所以∠OCE=∠CBQ，
∵在△BCM和△COE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠CBM=∠OCE}\\{BC=OC}\\{∠BCM=∠COE}\end{array}\right.$
∴△BCM≌△COE，
∴BM=CE，
∵CE=EP，
∴BM=EP．
∵BM∥EP，
∴四邊形BMEP是平行四邊形，
∵△BCM≌△COE，
∴CM=OE=3，
∴OM=CO-CM=2．
故點(diǎn)M的坐標(biāo)為（0，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，能靈活運(yùn)用知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．