Question

如圖，直徑AB、CD互相垂直，P為上一動(dòng)點(diǎn)，連PC、PA、PD、PB．
求證：．

Answer 1

：解：連AC，AD，BD，將△ACP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AC與AD重合（依AB⊥CD知AC=AD）點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)，
∴AQ=AP，CP=QD，
∵∠PAQ=90°，AQ=AP，
∵∠ADQ+∠ADP=∠ACP+∠ADP=180°，
∴P，D，Q三點(diǎn)共線，
∴∠Q=∠APD=45°，
∴PQ²=PA²+AQ²，
∴PQ=AP，
即CP+DP=AP，
同理：BP+AP=DP，
∴．
分析：連AC，AD，BD，將△ACP繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，使AC與AD重合（依AB⊥CD知AC=AD）點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到Q點(diǎn)，可證得△APQ是等腰直角三角形，CP+DP=AP，同理可得BP+AP=DP，繼而可證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了圓周角定理、垂徑定理、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及勾股定理．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．