Question

若x-y=1，x³-y³=2，則x⁴+y⁴=______，x⁵-y⁵______．

Answer 1

∵x³-y³=（x-y）（x²+xy+y²）=2，
x-y=1，
x³-y³=（x-y）（x²+xy+y²）=2，
又∵x²-2xy+y²=1，與上式聯(lián)立得：
xy=

1

3

，x²+y²=

5

3

，
故x⁴+y⁴=（x²+y²）²-2x²y²=

23

9

，

又x⁵-y⁵=x⁵-x⁴y+x⁴y-xy⁴+xy⁴-y⁵=x⁴（x-y）+xy（x³-y³）+y⁴（x-y），
將x-y=1，xy=

1

3

，x³-y³=2代入，
可得x⁵-y⁵=

29

9

，
故答案為

23

9

、

29

9

．