【題目】已知:拋物線l1:y=﹣x2+bx+3交x軸于點A,B,(點A在點B的左側(cè)),交y軸于點C,其對稱軸為x=1,拋物線l2經(jīng)過點A,與x軸的另一個交點為E(5,0),交y軸于點D(0,﹣ ).
(1)求拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式;
(2)P為直線x=1上一動點,連接PA,PC,當(dāng)PA=PC時,求點P的坐標(biāo);
(3)M為拋物線l2上一動點,過點M作直線MN∥y軸,交拋物線l1于點N,求點M自點A運動至點E的過程中,線段MN長度的最大值.
【答案】
(1)解:∵拋物線l1:y=﹣x2+bx+3的對稱軸為x=1,
∴﹣ =1,解得b=2,
∴拋物線l1的解析式為y=﹣x2+2x+3,
令y=0,可得﹣x2+2x+3=0,解得x=﹣1或x=3,
∴A點坐標(biāo)為(﹣1,0),
∵拋物線l2經(jīng)過點A、E兩點,
∴可設(shè)拋物線l2解析式為y=a(x+1)(x﹣5),
又∵拋物線l2交y軸于點D(0,﹣ ),
∴﹣ =﹣5a,解得a= ,
∴y= (x+1)(x﹣5)= x2﹣2x﹣ ,
∴拋物線l2的函數(shù)表達(dá)式為y= x2﹣2x﹣
(2)解:設(shè)P點坐標(biāo)為(1,y),由(1)可得C點坐標(biāo)為(0,3),
∴PC2=12+(y﹣3)2=y2﹣6y+10,PA2=[1﹣(﹣1)]2+y2=y2+4,
∵PC=PA,
∴y2﹣6y+10=y2+4,解得y=1,
∴P點坐標(biāo)為(1,1)
(3)解:由題意可設(shè)M(x, x2﹣2x﹣ ),
∵M(jìn)N∥y軸,
∴N(x,﹣x2+2x+3), x2﹣2x﹣
令﹣x2+2x+3= x2﹣2x﹣ ,可解得x=﹣1或x= ,
①當(dāng)﹣1<x≤ 時,MN=(﹣x2+2x+3)﹣( x2﹣2x﹣ )=﹣ x2+4x+ =﹣ (x﹣ )2+ ,
顯然﹣1< ≤ ,∴當(dāng)x= 時,MN有最大值 ;
②當(dāng) <x≤5時,MN=( x2﹣2x﹣ )﹣(﹣x2+2x+3)= x2﹣4x﹣ = (x﹣ )2﹣ ,
顯然當(dāng)x> 時,MN隨x的增大而增大,
∴當(dāng)x=5時,MN有最大值, ×(5﹣ )2﹣ =12;
綜上可知在點M自點A運動至點E的過程中,線段MN長度的最大值為12
【解析】(1)由拋物線l1的對稱軸為x=1,得到b=2,得到拋物線l1的解析式,得到A點坐標(biāo)為(﹣1,0),由待定系數(shù)法求出拋物線l2 的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)出P點坐標(biāo),由(1)可得C點坐標(biāo),由PC=PA,得到P點坐標(biāo)為(1,1);(3)由題意可設(shè)出M點的坐標(biāo),由MN∥y軸,得到N點坐標(biāo),得出MN有最大值 ;②當(dāng) <x≤5時 ,顯然當(dāng)x> 時,MN隨x的增大而增大,所以當(dāng)x=5時,MN有最大值;綜上可知在點M自點A運動至點E的過程中,線段MN長度的最大值為12;此題是綜合題,難度較大,計算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì).
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖 1,是一個長為 2m,寬為 2n 的長方形,沿圖中虛線用剪刀將其均分成四個完全相同的小長方形,然后按圖 2 的形狀拼圖.
(1)圖 2 中的圖形陰影部分的邊長為 ;(用含 m、n 的代數(shù)式表示)
(2)請你用兩種不同的方法分別求圖 2 中陰影部分的面積; 方法一: ;方法二: .
(3)觀察圖 2,請寫出代數(shù)式(m+n)2、(m﹣n)2、4mn 之間的關(guān)系式: .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:圖1、圖2是兩張形狀、大小完全相同的網(wǎng)格,網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長均為.格中各有一個完全相同的三角形,請在圖1、圖2分別面一條直線,滿足以下要求
(1)直線與三角形的交點要經(jīng)過網(wǎng)格的格點(每個小正方形的頂點均為格點)
(2)在圖1、圖2中分別用不同的方法將三角形分成兩個圖形其中一個是三角形另一個是四邊形,分割后的三角形的面積記為,四邊形的面積為,且.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,點O是邊AC上一個動點,過O作直線MN∥BC.設(shè)MN交∠ACB的平分線于點E,交∠ACB的外角平分線于點F.
(1)求證:OE=OF;
(2)若CE=12,CF=5,求OC的長;
(3)當(dāng)點O在邊AC上運動到什么位置時,四邊形AECF是矩形?并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知BE平分∠ABD,DE平分∠BDC,且∠BED =∠ABE +∠EDC.
(1)如圖1,求證:AB//CD;
(2)如圖2,若∠ABE=3∠ABF,且∠BFD=30°時,試求的值;
(3)如圖3,若H是直線CD上一動點(不與D重合),BI平分∠HBD,畫出圖形,并探究出∠EBI與∠BHD的數(shù)量關(guān)系.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖是由一些完全相同的小正方體搭成的幾何體的主視圖和左視圖,組成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是( )
A.5個
B.6個
C.7個
D.8個
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】三名快遞員某天的工作情況如圖所示,其中點,,的橫、縱坐標(biāo)分別表示甲、乙、丙三名快遞員上午派送快遞所用的時間和件數(shù);點,,,的橫、縱坐標(biāo)分別表示甲、乙、丙三名快遞員下午派送快遞所用的時間和件數(shù).有如下三個結(jié)論:①上午派送快遞所用時間最短的是甲;②下午派送快遞件數(shù)最多的是丙;③在這一天中派送快遞總件數(shù)最多的是乙.上述結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號是( )
A. ①②B. ①③C. ②D. ②③
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=1,點P是BC邊上的任意一點(異于端點B、C),連接AP,過B、D兩點作BE⊥AP于點E,DF⊥AP于點F.
(1)求證:EF=DF﹣BE;
(2)若△ADF的周長為,求EF的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】榮榮是個愛動腦筋的同學(xué),在發(fā)現(xiàn)教材中的用方框在月歷中移動的規(guī)律后,突發(fā)奇想,將連續(xù)的偶數(shù)2、4、6、8,…排成如下表,并用一個十字形框架住其中的五個數(shù),請你仔細(xì)觀察十字形框架中數(shù)字的規(guī)律,并回答下列問題:
十字框中的五個數(shù)的和與中間的數(shù)16有什么關(guān)系?
設(shè)中間的數(shù)為x,用代數(shù)式表示十字框中的五個數(shù)的和;
(3)若將十字框上下左右移動,可框住另外的五個數(shù),其中五個數(shù)的和能等于2018嗎?如能,寫出這五個數(shù),如不能,說明理由。
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