Question

如圖，正方形ABCD中，E為AD的中點，DE⊥CE于M，交AC于點N，交AB于點F，連接EN、BM．有如下結(jié)論：①△ADF≌△DCE；②MN=FN；③CN=2AN；④S_△AND：S_{四邊形CNFB}=2：5．其中正確結(jié)論的個數(shù)為

1. A.
   1 個
2. B.
   2 個
3. C.
   3 個
4. D.
   4 個

Answer 1

C
分析：①由正方形ABCD中，DE⊥CE，即可得AD=DC，∠DAF=∠CDE=90°，∠ADF=∠DCE，然后根據(jù)ASA即可得出△ADF與△DCE全等；
②由①易得AE=AF，∠NAF=∠NAE，AN=AN這三個條件，得出△ANF≌△ANE，即可得出結(jié)論．
③由AB∥CD，可得△DCN∽△FNA，根據(jù)相似三角形的對應邊成比例，即可求得答案．
④首先連接CF，再設(shè)S_△ANF=a，由③即可得出S_△ADN與S_{四邊形CNFB}的比值即可．
解答：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠DAF=∠CDE=90°，
∴∠DEC+∠DCE=90°，
∵DE⊥CE，
∴∠DEC+∠ADF=90°，
∴∠ADF=∠DCE，
在△ADF和△DCE中，
，
∴△ADF≌△DCE（SAS）；
故①正確；
∴DE=AF，
∵AE=DE，
∴AE=AF，
在△ANF和△ANE中
，
∴△ANF≌△ANE（SAS），
∴NF=NE，
∵NM⊥CE，
∴NE＞MN，
∴NF＞MN，
∴MN=FN錯誤，
故②錯誤；
∴AF=DE，
∵E為AD的中點，
∴AF=AB=CD，
∵AB∥CD，
∴△DCN∽△FNA，
∴CD：AF=CN：AN=2：1，
∴CN=2AN，
故③正確；
連接CF，
設(shè)S_△ANF=a，
則S_△ACF=3a，S_△ADN=2a，
∴S_△ACB=6a，
∴S_{四邊形CNFB}=5a，
∴S_△ADN：S_{四邊形CNFB}=2：5，
故④正確．
故選C．
點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)．此題難度較大，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結(jié)合思想的應用．