Question

在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于點(diǎn)O，若AC=8，BD=15，中位線長(zhǎng)為

17

2

，△AOB的面積為S₁，△COD的面積為S₂，則

S1

+

S2

=

2

15

．

Answer 1

分析：首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，易得四邊形ABEC是平行四邊形，△BDE為直角三角形，又由設(shè)S_△EBD=S，可得△DOC∽△DBE，△OAB∽△BDE，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答：解：過(guò)點(diǎn)B作BE∥AC，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
∵AB∥CE，
∴四邊形ABEC是平行四邊形，
∴CE=AB，BE=AC，
∵梯形中位線為

17

2

，
∴AB+CD=17，
∴DE=CE+CD=AB+CD=17，
∵BE=AC=8，BD=15，
∴DE²=BD²+BE²，
∴∠EBD=90°，
∴∠EBD=∠COD=90°，
設(shè)S_△EBD=S，
∵△DOC∽△DBE，△OAB∽△BDE，
則S₂：S=DO²：DB²，S₁：S=OB²：BD²，
∴

S1

+

S2

=

S

，
∵S_△EBD=

1

2

BD•BE=

1

2

×8×15=60，
∴

S1

+

S2

=

60

=2

15

．
故答案為：2

15

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、梯形的性質(zhì)以及勾股定理的逆定理．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．