Question

如圖，在⊙M中，弦AB所對(duì)的圓心角為120度，已知圓的半徑為2cm，并建立如圖所示的直角坐標(biāo)系．
（1）求圓心M的坐標(biāo)；
（2）求經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P是⊙M上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PAB為Rt△PAB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）連接MA，MB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可知∠AMO=

1

2

AMB=60°，由直角三角形的性質(zhì)可求出M點(diǎn)的坐標(biāo)．
（2）根據(jù)△AOM與△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，故此拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，根據(jù)此特點(diǎn)可設(shè)出拋物線的解析式，把A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入即可求出未知數(shù)的值，從而求出其解析式．
（3）設(shè)P（m，n），根據(jù)P在圓上列出方程及PA²+PB²=AB²即可求解．

解答：解：（1）連MA，MB，如圖：
∵M(jìn)A=MB OM⊥AB∠AMB=120°，
∴∠BMO=

1

2

∠AMB=60°，
∴∠OBM=30°，
∴OM=

1

2

MB=1，
∴M（0，1）；

（2）∵OC=MC-MO=1  OB=

MB2-OM2

=

3

，
∴C（0，-1）B（

3

，O），
∵經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線關(guān)于y軸對(duì)稱，
∴設(shè)經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)的拋物線的解析式為y=ax²+c，
把C（0，-1）和（

3

，0）分別代入上式，
得：a=

1

3

，c=-1，
∴y=

1

3

x²-1；

（3）連接AM并延長(zhǎng)交圓于點(diǎn)P，連接PB，
∵90°的圓周角對(duì)的弦是直徑，
∴∠P≠90°，
∴∠B=90°或∠A=90°，
當(dāng)∠B=90°時(shí)，AP是直徑，
∵弦AB所對(duì)的圓心角為120度，
∴∠P=60°，
∴∠A=30°，
∵圓的半徑為2cm，
∴AP=4，
∴BP=2，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，2），
同理可得：當(dāng)∠A=90°時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-

3

，2）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

，2），（-

3

，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是圓的性質(zhì)及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，比較復(fù)雜，但難度適中，注意細(xì)心運(yùn)算．