Question

如圖，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線夾角為α，∠ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線的夾角為β，
（1）若α=110°，則∠A=______．
（2）若∠A=30°，則β=______．
（3）猜想并證明α與β之間的關(guān)系．

Answer 1

（1）解：∵α=110°，
∴∠2+∠4=180°-110°=70°，
∵∠ABC，∠ACB的平分線夾角為α，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠4）=2×70°=140°，
∴∠A=180°-2（∠2+∠4）=180°-140°=40°．
故答案為：40°．

（2）解：∵∠A=40°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-40°=140°，
∴∠DBC+∠ECB=360°-（∠ABC+∠ACB）=360°-140°=220°，
∵ABC的外角平分線與∠ACB的外角平分線的夾角為β，
∴∠6+∠7=（∠DBC+∠ECB）=×220°=110°，
∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-110°=70°．
故答案為：70°．

（3）互補．
證明：如圖所示：
∵OB，OC分別是∠ABC與∠ACB的平分線，
∴∠1=∠2，3=∠4，
∴α=180°-（∠2+∠4）=180°-（∠ABC+∠ACB）①；
∵BP，CP是△ABC的外角平分線，
∴∠6+∠7=[360°-（∠ABC+∠ACB）]=180°-（∠ABC+∠ACB），
∴β=180°-（∠6+∠7）=180°-180°+（∠ABC+∠ACB）=（∠ABC+∠ACB）②，
①+②得，α+β=180°，
∴α與β互補．
分析：（1）先根據(jù)α=110°求出∠2+∠4的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠1=∠2，∠3=∠4，故∠1+∠2+∠3+∠4=2（∠2+∠4），由三角形內(nèi)角和定理即可求出∠A的度數(shù)；
（2）先根據(jù)∠A=40°求出∠ABC+∠ACB的度數(shù)，由平角的定義求出∠DBC+∠ECB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義得出∠6+∠7的度數(shù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出β的度數(shù)；
（3）根據(jù)（1）、（2）的結(jié)論猜想出α與β關(guān)系，再證明即可．
點評：本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．