Question

如圖，已知△ABC中，AC=BC，以BC為直徑的⊙O交AB于E，BC=6，∠B=30°，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AC于G，交BC的延長(zhǎng)線于F．
（1）求證：FE是⊙O的切線．
（2）求AB的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：連接OE．
∵OB=OE，
∴∠B=∠BEO．
∵BC=AC，
∴∠B=∠A，
∴∠BEO=∠A．
∴EO∥AC
∵EG⊥AC，
∴EG⊥OE．
又點(diǎn)E在⊙O上，
∴FE是⊙O的切線．

（2）解：過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BE；
在Rt△BOH中，OB=3，∠B=30°，
∴cos30°=．
∴BH=．
∴BE=2BH=3．
∵EO∥AC，OB=OC，
∴BE=AE．
∴AB=2BE=6．
分析：（1）連接OE，根據(jù)同位角相等，證明EO∥AC，又知EG⊥AC，故能得到EG⊥OE，
（2）過(guò)點(diǎn)O作OH⊥BE，在Rt△BOH中解得BH、BE，又知EO∥AC等條件，AB=2BE．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定等知識(shí)點(diǎn)．要證某線是圓的切線，已知此線過(guò)圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．