Question

如圖①，點A′，B′的坐標分別為（2，0）和（0，-4），將△A′B′O繞點O按逆時針方向旋轉90°后得△ABO，點A′的對應點是點A，點B′的對應點是點B．
（1）寫出A，B兩點的坐標，并求出直線AB的解析式；
（2）將△ABO沿著垂直于x軸的線段CD折疊，（點C在x軸上，點D在AB上，點D不與A，B重合）如圖②，使點B落在x軸上，點B的對應點為點E．設點C的坐標為（x，0），△CDE與△ABO重疊部分的面積為S．
①試求出S與x之間的函數(shù)關系式（包括自變量x的取值范圍）；
②當x為何值時，S的面積最大，最大值是多少？
③是否存在這樣的點C，使得△ADE為直角三角形？若存在，直接寫出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)旋轉的性質可以得到OA=OA′，OB=OB′，則A，B的坐標就可以得到，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線AB的解析式．
（2）①OB=4，C點的位置應分兩種情況進行討論，當C在OB的中點或在中點與B之間時，重合部分是△CDE；當C在OB的中點與O之間時，重合部分是梯形，就可以得到函數(shù)解析式．
②求出S與x之間的函數(shù)解析式，根據(jù)函數(shù)的性質就可以得到面積的最值．
③分△ADE以點A為直角頂點和△ADE以點E為直角頂點，兩種情況進行討論．根據(jù)相似三角形的對應邊的比相等，求出OE的長，就可以得到C點的坐標．

解答：解：
（1）A（0，2），B（4，0）（2分）
設直線AB的解析式y(tǒng)=kx+b，則有

b=2 4k+b=0

解得

k=- 1 2 b=2

∴直線AB的解析式為y=-

1

2

x+2（3分）

（2）i）①點E在原點和x軸正半軸上時，重疊部分是△CDE．
則S_△CDE=

1

2

BC×CD=

1

2

(4-x)(-

1

2

x+2)
=

1

4

x2-2x+4
當E與O重合時，CE=

1

2

BO=2
∴2≤x＜4（4分）
②當E在x軸的負半軸上時，設DE與y軸交于點F，則重疊部分為梯形
∵△OFE∽△OAB
∴

OF

OE

=

OA

0B

=

1

2

，
∴OF=

1

2

OE
又∵OE=4-2x
∴OF=

1

2

(4-2x)=2-x
∴S四邊形CDFO=

x

2

×[2-x+(-

1

2

x+2)]
=-

3

4

x2+2x（5分）
當點C與點O重合時，點C的坐標為（0，0）
∴0＜x＜2（6分）
綜合①②得S=

1 4 x2-2x+4(2≤x＜4) - 3 4 x2+2x(0＜x＜2)

（7分）
ii）①當2≤x＜4時，S=

1

4

x2-2x+4=

1

4

(x-4)2
∴對稱軸是直線x=4
∵拋物線開口向上，
∴在2≤x＜4中，S隨x的增大而減小
∴當x=2時，S的最大值=

1

4

×(2-4)2=1（8分）
②當0＜x＜2時，S=-

3

4

x2+2x=-

3

4

(x-

4

3

)2+

4

3

∴對稱軸是直線x=

4

3

∵拋物線開口向下∴當x=

4

3

時，S有最大值為

4

3

（9分）
綜合①②當x=

4

3

時，S有最大值為

4

3

（10分）
iii）存在，點C的坐標為（

3

2

，0）和（

5

2

，0）（14分）
附：詳解：①當△ADE以點A為直角頂點時，作AE⊥AB交x軸負半軸于點E，
∵△AOE∽△BOA
∴

EO

AO

=

AO

BO

=

1

2

∵AO=2∴EO=1
∴點E坐標為（-1，0）
∴點C的坐標為（

3

2

，0）②當△ADE以點E為直角頂點時
同樣有△AOE∽△BOA

OE

AO

=

OA

BO

=

1

2

∴EO=1∴E（1，0）
∴點C的坐標（

5

2

，0）
綜合①②知滿足條件的坐標有（

3

2

，0）和（

5

2

，0）．
以上僅提供本試題的一種解法或解題思路，若有不同解法請參照評分標準予以評分．

點評：本題主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，求函數(shù)的最值，以及相似三角形的對應邊的比相等．