Question

【題目】如圖，在△ABC中，∠A=60°，BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，點D是BC的中點，BE，CF交于點M．

（1）如果AB=AC，求證：△DEF是等邊三角形；

（2）如果AB≠AC，試猜想△DEF是不是等邊三角形？如果△DEF是等邊三角形，請加以證明；如果△DEF不是等邊三角形，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）△DEF是等邊三角形．

【解析】試題分析：（1）先判定△ABC是等邊三角形，再根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得EF=ED=DF，從而可得△DEF是等邊三角形；

（2）先根據(jù)直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)求出∠ABE=∠ACF=30°，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BCF+∠CBE=60°，然后根據(jù)三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和求出∠BDF+∠CDE=120°，從而得到∠EDF=60°，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得DE=DF，根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可證明．

試題解析：（1）證明：∵∠A=60°，AB=AC，∴△ABC是等邊三角形．∵BE⊥AC，垂足為E，CF⊥AB，垂足為F，∴E、F分別是AC、AB邊的中點．又∵點D是BC的中點，EF=BC，DE=AB，DF=AC，∴EF=ED=DF，∴△DEF是等邊三角形；

（2）解：△DEF是等邊三角形．理由如下：

∵∠A=60°，BE⊥AC，CF⊥AB，∴∠ABE=∠ACF=90°﹣60°=30°．在△ABC中，∠BCF+∠CBE=180°﹣60°﹣30°×2=60°．∵點D是BC的中點，BE⊥AC，CF⊥AB，∴DE=DF=BD=CD，∴∠BDF=2∠BCF，∠CDE=2∠CBE，∴∠BDF+∠CDE=2（∠BCF+∠CBE）=2×60°=120°，∴∠EDF=60°，∴△DEF是等邊三角形．