Question

如圖，拋物線y=（x+1）²+k與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3）；
（1）求拋物線的對(duì)稱軸及k的值；
（2）拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P，使得|PB-PC|的值最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）如果點(diǎn)M是拋物線在第三象限的一動(dòng)點(diǎn)；當(dāng)M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，M點(diǎn)到AC的距離最大？求出此時(shí)的最大距離及M的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)拋物線解析式寫(xiě)出對(duì)稱軸解析式即可，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線解析式計(jì)算即可求出k值；
（2）令y=0，解關(guān)于x的一元二次方程得到點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知點(diǎn)P、C、B在同一直線上時(shí)，|PB-PC|的值最大，然后利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式，再求解即可；
（3）先求出直線AC的解析式，再根據(jù)平行線間的距離相等，過(guò)點(diǎn)M的直線與直線AC平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)距離最大，然后聯(lián)立拋物線與直線解析式，根據(jù)△=0列式求出過(guò)點(diǎn)M的直線，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)，再求出直線與x軸的交點(diǎn)，然后利用直線與x軸的夾角為45°，利用正弦值列式計(jì)算即可求出最大距離．

解答：解：（1）拋物線y=（x+1）²+k的對(duì)稱軸為直線x=-1，
把點(diǎn)C（0，-3）代入拋物線得，（0+1）²+k=-3，
解得k=-4；

（2）令y=0，則（x+1）²-4=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴點(diǎn)A（-3，0），B（1，0），
由三角形的三邊性質(zhì)，|PB-PC|＜BC，
∴當(dāng)點(diǎn)P、C、B在同一直線上時(shí)，|PB-PC|的值最大，
此時(shí)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
則

k+b=0 b=-3

，
解得

k=3 b=-3

，
∴直線BC的解析式為y=3x-3，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=3×（-1）-3=-6，
∴拋物線對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P（-1，-6），使得|PB-PC|的值最大；

（3）設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n（m≠0），
則

-3m+n=0 n=-3

，
解得

m=-1 n=-3

，
∴直線AC的解析式為y=-x-3，
過(guò)點(diǎn)M的直線與直線AC平行且與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)距離最大，
此時(shí)，過(guò)點(diǎn)M的直線解析式設(shè)為y=-x+b，
聯(lián)立

y=(x+1)2-4 y=-x+b

，
消掉y得，x²+3x-3-b=0，
△=3²-4×1×（-3-b）=0，
解得b=-

21

4

，
過(guò)點(diǎn)M的直線解析式為，y=-x-

21

4

，
此時(shí)，x₁=x₂=-

3

2

，
y₁=y₂=-

15

4

，
∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（-

3

2

，-

15

4

），
設(shè)過(guò)點(diǎn)M的直線與x軸的交點(diǎn)為D，
則由-x-

21

4

=0，得x=-

21

4

，
∴AD=-3-（-

21

4

）=

9

4

，
∵A（-3，0），C（0，-3），
∴OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠OAC=45°，
∵M(jìn)D∥AC，
∴∠ODM=∠OAC=45°，
∴直線MD與AC之間的距離=

9

4

×

2

2

=

9 2

8

，
即M點(diǎn)到AC的距離最大值為

9 2

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，主要利用了二次函數(shù)頂點(diǎn)式與對(duì)稱軸，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，三角形的三邊關(guān)系的利用，利用平行線間的距離確定點(diǎn)到直線的距離的最大值的方法，（2）判斷出點(diǎn)P是直線BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，（3）確定出點(diǎn)M的位置與所在的直線是解題的關(guān)鍵．