【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=60cm,∠A=30°,點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以2cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)沿BC方向以1cm/秒的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)D、E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒(0<t≤30).過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F,連接DE,EF.
(1)填空:四邊形BEFD是_________;
(2)當(dāng)t=______時(shí),四邊形BEFD能夠成為菱形。
(3)當(dāng)t為何值時(shí)?△DEF為直角三角形.
【答案】(1)平行四邊形;(2)20;(3)t=15或24秒時(shí),△DEF為直角三角形.
【解析】
(1)利用t表示出BE的長(zhǎng),利用直角三角形的性質(zhì)求得DF的長(zhǎng),然后根據(jù)平行四邊形的判定解答即可;
(2)由菱形的性質(zhì)可得關(guān)于t的方程,解方程即得結(jié)果;
(3)分三種情況:顯然∠DFE<90°;當(dāng)∠EDF=90°時(shí),如圖1,利用矩形的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可得關(guān)于t的方程,解方程即得結(jié)果;當(dāng)∠DEF=90°時(shí),如圖2,易得∠BDE=90°,然后利用30°角的直角三角形的性質(zhì)解答.
證明:(1)∵∠A=30°,DF⊥AC,AD=2t,BE=t,
∴DF=AD=t=BE,
∵DF⊥AC,BC⊥AC,
∴DF∥BE,且DF=BE,
∴四邊形BEFD是平行四邊形;
故答案為:平行四邊形;
(2)當(dāng)BD=BE時(shí),四邊形BEFD能夠成為菱形,
此時(shí)60﹣2t=t,∴t=20,
∴當(dāng)t=20s,四邊形BEFD能夠成為菱形;
故答案為:20;
(3)∵∠DFE<∠DFC,∴∠DFE<90°;
當(dāng)∠EDF=90°時(shí),如圖1,
∵∠ACB=∠EDF=∠CFD=90°,
∴四邊形DECF是矩形,
∴DF=EC=t,
∵∠C=90°,AB=60cm,∠A=30°,
∴cm,
∴t=30﹣t,
∴t=15;
當(dāng)∠DEF=90°,如圖2,
∵四邊形BEFD是平行四邊形,
∴BD∥EF,
∴∠BDE=∠DEF=90°,且∠B=60°,
∴∠DEB=30°,
∴BE=2BD,
∴2(60﹣2t)=t,
∴t=24.
綜上所述:當(dāng)t=15或24秒時(shí),△DEF為直角三角形.
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【題目】2017年5月25日,中國國際大數(shù)據(jù)產(chǎn)業(yè)博覽會(huì)在貴陽會(huì)展中心開幕,博覽會(huì)設(shè)了編號(hào)為1~6號(hào)展廳共6個(gè),小雨一家計(jì)劃利用兩天時(shí)間參觀其中兩個(gè)展廳:第一天從6個(gè)展廳中隨機(jī)選擇一個(gè),第二天從余下的5個(gè)展廳中再隨機(jī)選擇一個(gè),且每個(gè)展廳被選中的機(jī)會(huì)均等.
(1)第一天,1號(hào)展廳沒有被選中的概率是 ;
(2)利用列表或畫樹狀圖的方法求兩天中4號(hào)展廳被選中的概率.
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【題目】某摩托車廠本周計(jì)劃每日生產(chǎn)450輛摩托車,由于工人實(shí)行輪休, 每日上班人數(shù)不一定相等,實(shí)際每日生產(chǎn)量與計(jì)劃量相比情況如下表: [增加的輛數(shù)為正數(shù),減少的輛數(shù)為負(fù)數(shù)]
星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 | 日 |
增減 | -5 | +7 | -3 | +4 | +10 | -9 | -25 |
(1)本周星期六生產(chǎn)多少輛摩托車?
(2)本周總產(chǎn)量與計(jì)劃產(chǎn)量相比,是增加了還是減少了?為什么?
(3)產(chǎn)量最多的那天比產(chǎn)量最少的那天多生產(chǎn)多少輛?
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【題目】如圖,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3cm,∠ABE=,且AB=AE,則DE的長(zhǎng)度為( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
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【題目】“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為4,大正方形的面積為100,直角三角形中較小的銳角為α,則tanα的值等于____
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【題目】據(jù)調(diào)查,超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因之一,所以規(guī)定以下情境中的速度不得超過15m/s,在一條筆直公路BD的上方A處有一探測(cè)儀,如圖,AD=24m,∠D=90°,第一次探測(cè)到一輛轎車從B點(diǎn)勻速向D點(diǎn)行駛,測(cè)得∠ABD=31°,2秒后到達(dá)C點(diǎn),測(cè)得∠ACD=50°.
(1)求B,C的距離.
(2)通過計(jì)算,判斷此轎車是否超速.(tan31°≈0.6,tan50°≈1.2,結(jié)果精確到1m)
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【題目】數(shù)學(xué)課上,張老師出示了問題:如圖1,四邊形ABCD是正方形,點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn).∠AEF=90°,且EF交正方形外角∠DCG的角平分線CF于點(diǎn)F,求證:AE=EF.
經(jīng)過思考,小明展示了一種正確的解題思路:取AB的中點(diǎn)M,連接ME,則AM=EC,易證△AME≌△ECF,所以AE=EF.
在此基礎(chǔ)上,同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究:
(1)小穎提出:如圖2,如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上(除B,C外)的任意一點(diǎn)”,其它條件不變,那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立,你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說明理由;
(2)小華提出:如圖3,點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上(除C點(diǎn)外)的任意一點(diǎn),其他條件不變,結(jié)論“AE=EF”仍然成立.你認(rèn)為小華的觀點(diǎn)正確嗎?如果正確,寫出證明過程;如果不正確,請(qǐng)說明理由.
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【題目】有20筐白菜,以每筐25千克為標(biāo)準(zhǔn),超過或不足的千克數(shù)分別用正、負(fù)數(shù)來表示,記錄如下:
(1)20筐白菜中,最重的一筐比最輕的一筐多重多少千克?
(2)與標(biāo)準(zhǔn)重量比較,20筐白菜總計(jì)超過或不足多少千克?
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【題目】兒童服裝店老板以50元的價(jià)格購進(jìn)20件衣服,針對(duì)不同的顧客,20件衣服的售價(jià)不完全相同,若以68元為標(biāo)準(zhǔn),將超出的錢數(shù)記為正,不足的錢數(shù)記為負(fù),記錄結(jié)果如下表:
售出件數(shù) | 5 | 4 | 2 | 1 | 7 | 1 |
售價(jià) | +2 | +3 | +1 | 0 | —2 | —1 |
(1)問該服裝店售完這20件衣服后,賺了多少錢?
(2)老板為了促銷,對(duì)購買價(jià)格不低于標(biāo)準(zhǔn)的每個(gè)顧客送了價(jià)值5元的小禮物,如果不考慮其他因素,這20件衣服實(shí)際賺了多少?
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