Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的三個頂點(diǎn)B（1，0），C（3，0），D（3，4）．以A為頂點(diǎn)的拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)C．動點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動．同時動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CD向點(diǎn)D運(yùn)動．點(diǎn)P，Q的運(yùn)動速度均為每秒1個單位．運(yùn)動時間為t秒．過點(diǎn)P作PE⊥AB交AC于點(diǎn)E．

（1）直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)，并求出拋物線的解析式；
（2）過點(diǎn)E作EF⊥AD于F，交拋物線于點(diǎn)G，當(dāng)t為何值時，△ACG的面積最大？最大值為多少？
（3）在動點(diǎn)P，Q運(yùn)動的過程中，當(dāng)t為何值時，在矩形ABCD內(nèi)（包括邊界）存在點(diǎn)H，使以C，Q，E，H為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？請直接寫出t的值．

Answer 1

【答案】
（1）A（1，4）．

由題意知，可設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4

∵拋物線過點(diǎn)C（3，0），

∴0=a（3﹣1）2+4，

解得，a=﹣1，

∴拋物線的解析式為y=﹣（x﹣1）2+4，即y=﹣x2+2x+3．

（2）解：∵A（1，4），C（3，0），

∴可求直線AC的解析式為y=﹣2x+6．

∵點(diǎn)P（1，4﹣t）．

∴將y=4﹣t代入y=﹣2x+6中，解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=1+ ．

∴點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1+ ，代入拋物線的解析式中，可求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為4﹣ ．

∴GE=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ．

又∵點(diǎn)A到GE的距離為 ，C到GE的距離為2﹣ ，

即S△ACG=S△AEG+S△CEG= EG + EG（2﹣ ）

= 2（t﹣ ）=﹣ （t﹣2）2+1．

當(dāng)t=2時，S△ACG的最大值為1．

（3）解：第一種情況如圖1所示，點(diǎn)H在AC的上方，

由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t，

根據(jù)△APE∽△ABC，知

= ，即 = ，解得t=20﹣8 ；

第二種情況如圖2所示，點(diǎn)H在AC的下方，

由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE= t，EM=2﹣ t，MQ=4﹣2t．

則在直角三角形EMQ中，根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，即（2﹣ /span> t）2+（4﹣2t）2=t2，

解得，t1= ，t2=4（不合題意，舍去）．

綜上所述，t=20﹣8 或t= ．

【解析】（1）由拋物線過點(diǎn)C（3，0），求出拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3；（2）由A（1，4），C（3，0），可求出直線AC的解析式；又點(diǎn)P（1，4﹣t），解得點(diǎn)E的橫坐標(biāo)為x=1+ ，所以點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為1+ ，代入拋物線的解析式中，可求點(diǎn)G的縱坐標(biāo)為4﹣ ，得到GE=（4﹣ ）﹣（4﹣t）=t﹣ ，又點(diǎn)A到GE的距離為 ，C到GE的距離為2﹣ ，即S△ACG=S△AEG+S△CEG，求出S△ACG的最大值為；（3）第一種情況如圖1所示，點(diǎn)H在AC的上方，由四邊形CQEH是菱形知CQ=CE=t，根據(jù)△APE∽△ABC，得到比例，求出t的值；第二種情況如圖2所示，點(diǎn)H在AC的下方，由四邊形CQHE是菱形知CQ=QE=EH=HC=t，PE= t，EM=2﹣ t，MQ=4﹣2t．則在直角三角形EMQ中，根據(jù)勾股定理知EM2+MQ2=EQ2，求出t的值 ；此題是綜合題，難度較大，計(jì)算和解方程時需認(rèn)真仔細(xì)．