Question

已知：關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+1=0（k＞0）．
（1）求證：方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
（2）若方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），設(shè)y=x₂-x₁-2，試探究y與k之間的函數(shù)關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：根的判別式,根與系數(shù)的關(guān)系

專題：

分析：（1）根據(jù)一元二次方程的定義得k≠0，再計(jì)算判別式得到△=（2k-1）²，然后根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即k的取值得到△＞0，則可根據(jù)判別式的意義得到結(jié)論；
（2）利用根與系數(shù)的關(guān)系和代數(shù)式變形求得x₂-x₁=

(x2+x1)2-4x2x1

=

2k+1

k

=2+

1

k

，所以將其代入y=x₂-x₁-2，即可得到y(tǒng)與k之間的函數(shù)關(guān)系．

解答：（1）證明：k≠0，
△=（4k+1）²-4k（3k+1）
=4k²+4k+1
=（2k+1）²，
∵k＞0，
∴（2k+1）²＞0，
∴△＞0，
∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；

（2）解：∵關(guān)于x的一元二次方程kx²-（4k+1）x+3k+1=0（k＞0）的兩個(gè)實(shí)數(shù)根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂），則x₂-x₁＞0．
∴x₂+x₁=

4k+1

k

，x₂•x₁=

3k+1

4

，
∴y=x₂-x₁-2=

(x2+x1)2-4x2x1

-2=

(4k+1)2 k2 -4× 3k+1 k

-2=

2k+1

k

-2=

1

k

，即y與k之間的函數(shù)關(guān)系是y=

1

k

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了根的判別式，根與系數(shù)的關(guān)系．解答（2）時(shí)，將根與系數(shù)的關(guān)系和代數(shù)式變形相結(jié)合是解題中經(jīng)常用到的方法．