Question

如圖1，是邊長分別為4和3的兩個等邊三角形紙片ABC和CD′E′疊放在一起．
（1）操作：固定△ABC，將△CD′E′繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△CDE，連接AD、BE，如圖2．探究：在圖2中，線段BE與AD之間有怎樣的大小關系？試說明理由；
（2）操作：固定△ABC，若將△CD′E′繞點C順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△CDE，連接AD、BE，CE的延長線交AB于點F，在線段CF上沿著CF方向以每秒1個單位長的速度平移，平移后的△CDE設為△PQR，如圖3．探究：在圖3中，除△ABC和△CDE外，還有哪個三角形是等腰三角形？寫出你的結(jié)論并說明理由；
（3）探究：如圖4，在（2）的條件下，將△PQR的頂點P移動至F點，求此時QH的長度．

Answer 1

解：（1）BE=AD
證明：由題意可得，BC=AC，CE=CD，
∵∠BCE+∠ACE=60°∠ACE+∠ACD=60°
∴∠BCE=∠ACD，
∴△BCE≌△ACD，
∴BE=AD．

（2）△HQC為等腰三角形
證明：因為∠FCB=30°，
所以∠ACF=30°，
又因為∠RQP=60°，
所以∠QHC=∠HCQ=30°，
所以△HQC為等腰三角形；

（3）由題意得，AF=2，在Rt△AFG中，F(xiàn)G=，所以GR=3-，
在Rt△GRH中，RH=2（3-），
所以HQ=3-2（3-）=2-3
分析：（1）求兩條線段之間的關系，可先證明△BCE≌△ACD，進而得出兩條線之間的關系．
（2）等腰三角形的判定問題，可根據(jù)題中角之間的關系進行判斷．
（3）簡單的計算問題，在直角三角形中，利用勾股定理求解即可．
點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)及判定定理軸對稱的性質(zhì)及平移的性質(zhì)；進行角的等量代換是正確解答本題的關鍵．