如圖,已知△ABC和△DEC都是等邊三角形,B、C、E在同一直線上,連接BD、AE和FG.
(1)求證:AE=BD;
(2)求∠AHB的度數(shù);
(3)求證:FG∥BE.

證明:∵△ABC和△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠ACD+∠ACB,∠BCD=∠DCE+∠DCA,
即:∠ACE=∠BCD,
在△BCD和△ACE中,
,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD.

(2)∵△BCD≌△ACE,
∴∠1=∠2,
∵∠1+∠AEC=∠ACB=60°,
∴∠2++∠AEC=60°,
∵∠2+∠AEC=∠AHB,
∴∠AHB=60°;

(3))∵△BCD≌△ACE,
∴∠BDC=∠CEG,
∵∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠ACD=180°-60°-60°=60°,
在△DFC和△EGC中,
,
∴△DFC≌△EGC(AAS),
∴CF=CG,
∴△CFG是等邊三角形,
∴∠CFG=∠FCB=60°,
∴FG∥BE.
分析:(1)根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質和各內角為60°的性質可求得△BCD≌△ACE,根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質即可求得AE=BD.
(2)根據(jù)全等三角形的性質可得∠1=∠2,根據(jù)三角形內角與外角的關系可得∠1+∠AEC=∠ACB=60°,再進行等量代換可得∠2++∠AEC=60°=∠AHB;
(3)首先證明△DFC≌△EGC可得CF=CG,進而證出△CFG是等邊三角形,則∠CFG=∠FCB=60°,再根據(jù)內錯角相等,兩直線平行可得結論.
點評:此題考查了全等三角形的判定與性質,以及等邊三角形的判定與性質,關鍵是掌握證明三角形全等的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA.全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.
練習冊系列答案
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20、如圖,已知△ABC和△DEF,∠A=∠D=90°,且△ABC與△DEF不相似,問是否存在某種直線分割,使△ABC所分割成的兩個三角形與△DEF所分割成的兩個三角形分別對應相似?
(1)如果存在,請你設計出分割方案,并給出證明;如果不存在,請簡要說明理由;
(2)這樣的分割是唯一的嗎?若還有,請再設計出一種.

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如圖,已知△ABC和△DEF是兩個邊長都為10cm的等邊三角形,且B、D、C、E都在同一直線上精英家教網(wǎng),連接AD、CF.
(1)求證:四邊形ADFC是平行四邊形;
(2)若BD=3cm,△ABC沿著BE的方向以每秒1cm的速度運動,設△ABC運動時間為t秒,
①當t為何值時,?ADFC是菱形?請說明你的理由;
②?ADFC有可能是矩形嗎?若可能,求出t的值及此矩形的面積;若不可能,請說明理由.

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19、如圖,已知△ABC和△A″B″C″及點O.
(1)畫出△ABC關于點O對稱的△A′B′C′;
(2)若△A″B″C″與△A′B′C′關于點O′對稱,請確定點O′的位置;

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23、如圖,已知△ABC和兩條相交于O點且夾角為60°的直線m、n.
(1)畫出△ABC關于直線m的對稱△A1B1C 1,再畫出△A1B1C 1關于直線n的對稱△A2B2C 2;
(2)你認為△A2B2C 2可視為△ABC繞著哪一點旋轉多少度得到的?

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(2012•南崗區(qū)二模)如圖,已知△ABC和△DBE均為等腰直角三角形,∠ABC=∠DBE=90°,求證:AD=CE.

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