證明:∵△ABC和△DEC都是等邊三角形
∴AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠ACE=∠ACD+∠ACB,∠BCD=∠DCE+∠DCA,
即:∠ACE=∠BCD,
在△BCD和△ACE中,
,
∴△BCD≌△ACE(SAS),
∴AE=BD.
(2)∵△BCD≌△ACE,
∴∠1=∠2,
∵∠1+∠AEC=∠ACB=60°,
∴∠2++∠AEC=60°,
∵∠2+∠AEC=∠AHB,
∴∠AHB=60°;
(3))∵△BCD≌△ACE,
∴∠BDC=∠CEG,
∵∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠ACD=180°-60°-60°=60°,
在△DFC和△EGC中,
,
∴△DFC≌△EGC(AAS),
∴CF=CG,
∴△CFG是等邊三角形,
∴∠CFG=∠FCB=60°,
∴FG∥BE.
分析:(1)根據(jù)等邊三角形邊長相等的性質和各內角為60°的性質可求得△BCD≌△ACE,根據(jù)全等三角形對應邊相等的性質即可求得AE=BD.
(2)根據(jù)全等三角形的性質可得∠1=∠2,根據(jù)三角形內角與外角的關系可得∠1+∠AEC=∠ACB=60°,再進行等量代換可得∠2++∠AEC=60°=∠AHB;
(3)首先證明△DFC≌△EGC可得CF=CG,進而證出△CFG是等邊三角形,則∠CFG=∠FCB=60°,再根據(jù)內錯角相等,兩直線平行可得結論.
點評:此題考查了全等三角形的判定與性質,以及等邊三角形的判定與性質,關鍵是掌握證明三角形全等的判定方法SSS、SAS、AAS、ASA.全等三角形的判定是結合全等三角形的性質證明線段和角相等的重要工具.