Question

（2002•深圳）閱讀材料，解答問題：
命題：如圖，在銳角△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c，△ABC的外接圓半徑為R，則===2R．
證明：連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，則∠D=∠A．
因?yàn)镃D是⊙O的直徑，所以∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，sin∠D==，
所以sinA=，即=2R，
同理：=2R，=2R，===2R，
請(qǐng)閱讀前面所給的命題和證明后，完成下面（1）（2）兩題：
（1）前面閱讀材料中省略了“=2R，=2R”的證明過程，請(qǐng)你把“=2R”的證明過程補(bǔ)寫出來．
（2）直接運(yùn)用閱讀材料中命題的結(jié)論解題，已知銳角△ABC中，BC=，CA=，∠A=60°，求△ABC的外接圓半徑R及∠C．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)已知的證明過程，同樣可以分別把∠B和b；∠C和c構(gòu)造到直角三角形中，根據(jù)銳角三角函數(shù)進(jìn)行證明；
（2）根據(jù)（1）中證明的結(jié)論===2R，代入計(jì)算．
解答：（1）證明：連接CO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)D，連接DB，則∠A=∠D；
因?yàn)镃D是⊙O的直徑，
所以∠DBC=90°，
在Rt△DBC中，
sin∠D=，
所以sinB=，即=2R；

（2）解：由命題結(jié)論知
=，
∴=，
∴sinB=；
∵BC＞CA，
∴∠A＞∠B，
∴∠B=45°，
∴∠C=75°．
由=2R，得R=1．
點(diǎn)評(píng)：構(gòu)造直徑所對(duì)的圓周角，是圓中構(gòu)造直角三角形常用的一種方法．熟記這一結(jié)論：===2R，便于計(jì)算．