Question

已知，如圖拋物線y＝ax²＋3ax＋c(a>0)與y軸交于C點，與x軸交于A、B兩點，A點在B點左側．點B的坐標為(1,0)，OC＝3OB.
(1)求拋物線的解析式；
(2)若點D是線段AC下方拋物線上的動點，求四邊形ABCD的面積的最大值；
(3)若點E在x軸上，點P在拋物線上，是否存在以A、C、E、P為頂點且以AC為一邊的平行四邊形？若存在，求點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1)∴y＝x²＋x－3
(2)過點D作DM∥y軸分別交線段AC和x軸于點M、N.

∴S_{四邊形ABCD}＝S_△ABC＋S_△ACD＝＋·DM·(AN＋ON)＝＋2DM.
∵A(－4,0)，C(0，－3)，
設直線AC的解析式為y＝kx＋b，
代入求得：y＝－x－3，
令D，M，
則DM＝－x－3－＝－ (x＋2)²＋3.
當x＝－2時，DM有最大值3，此時四邊形ABCD面積有最大值.
(3)如圖①所示，討論：①過點C作CP₁∥x軸交拋物線于點P₁，過點P₁作P₁E₁∥AC交x軸于點E₁，此時四邊形ACP₁E₁為平行四邊形，
∵C(0，－3)，令x²＋x－3＝－3得x₁＝0，x₂＝－3，
∴CP₁＝3.∴P₁(－3，－3)．
②如圖②，平移直線AC交x軸于點E，交x軸上方的拋物線于點P，

當AC＝PE時，四邊形ACEP為平行四邊形，
∵C(0，－3)，
∴可令P(x,3)，由x²＋x－3＝3得：x²＋3x－8＝0，
解得x₁＝或x₂＝，
此時存在點P₂和P₃.
綜上所述，存在3個點符合題意，坐標分別是P₁(－3，－3)，P₂，P₃.

解析