Question

已知實數x、y滿足x²+xy+y²=1，則x²-xy+y²的最大值是

 

，最小值是

 

．

Answer 1

分析：觀察可看出未知數的值沒有直接給出，而是隱含在題中，我們需要對所求代數式進行整理然后求解．

解答：解：設x²-xy+y²=A
x²-xy+y²=A與x²+xy+y²=1相加可以得到：
2（x²+y²）=1+A    （1）
x²-xy+y²=A與x²+xy+y²=1相減得到：
2xy=1-A       （2）
（1）+（2）×2得：
2（x²+2xy+y²）=2（x+y）²=3-A≥0
∴A≤3，
（1）-（2）×2得：
2（x-y）²=3A-1≥0，
∴A≥

1

3

．
綜上：

1

3

≤A≤3．

點評：本題考查了完全平方公式，關鍵是設一個未知數，然后利用完全平方公式相加或相減，再根據平方數非負數的性質得出它的最大值和最小值．