Question

已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線過(guò)點(diǎn)A（6，0）和點(diǎn)B（3，）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線沿x軸翻折得拋物線，求拋物線的解析式；
（3）在（2）的條件下，拋物線上是否存在點(diǎn)M，使與相似？如果存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；如果不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

(1) ；（2）；（3），，．

試題分析：（1）把A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y₁=ax²+bx,求得a、b的值，從而確定y₁的解析式；
（2）將拋物線沿x軸翻折后，仍過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（6，0），還過(guò)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．從而可求y₂的解析式；
（3）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，易證是頂角為120º的等腰三角形．分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，就是，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（9，）、．
試題解析：（1）依題意，得  解得
∴拋物線的解析式為
（2）將拋物線沿x軸翻折后，仍過(guò)點(diǎn)O（0，0），A（6，0），還過(guò)點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)．
設(shè)拋物線的解析式為，
∴   解得
∴拋物線的解析式為．
（3）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，

則有．
∴，．
∵OC=3，OA=6，
∴AC=3.
∴，．
∴OB=AB．
即是頂角為120º的等腰三角形．
分兩種情況：
①當(dāng)點(diǎn)M在x軸下方時(shí)，就是，此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)為．
②當(dāng)點(diǎn)M在x軸上方時(shí)，假設(shè)，則有AM=OA=6，．
過(guò)點(diǎn)M作MD⊥x軸于點(diǎn)D，則．
∴，． ∴OD=9.
而（9，）滿(mǎn)足關(guān)系式，
即點(diǎn)M在拋物線上．
根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)也滿(mǎn)足條件．
綜上所述，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，，．
考點(diǎn):二次函數(shù)綜合題．