Question

12．如圖，⊙O是△ABC的外接圓，BC是⊙O的直徑，作∠CAD=∠B，且點D在BC延長線上．
（1）求證：AD是⊙O的切線；
（2）若AB=3，∠B=30°，求∠D的長．

Answer 1

分析 （1）連接OA，如圖，由0A=OB得到∠2=∠B，根據(jù)圓周角定理，由BC是⊙O的直徑得到∠1+∠2=90°，加上∠CAD=∠B，則∠2=∠CAD，所以∠CAD+∠1=90°，然后根據(jù)切線的判定定理可得到AD是⊙O的切線；
（2）在Rt△ABC中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\sqrt{3}$，然后證明△ACD為等腰三角形即可得到CD的長．

解答 （1）證明：連接OA，如圖，
∵OA=OB，
∴∠2=∠B，
∵BC是⊙O的直徑，
∴∠BAC=90，即∠1+∠2=90°，
∵∠CAD=∠B，
∴∠2=∠CAD，
∴∠CAD+∠1=90°，
∴OA⊥AD，
∴AD是⊙O的切線；
（2）解：在Rt△ABC中，∵∠B=30，
∴AC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$AB=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×3=$\sqrt{3}$，
∵∠ACB=90°-∠B=60°，∠CAD=∠B=30°，
∴∠D=30°，
∴CD=CA=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定：切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．