Question

如圖17，在等腰△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高，

點(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的中點(diǎn)，且EF∥BC．

（1）試說(shuō)明△AEF是等腰三角形；

（2）試比較DE與DF的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）因?yàn)?i>EF∥BC，所以∠AEF＝∠B，∠AFE＝∠C .

又因?yàn)?i>AB＝AC，所以∠B＝∠C，所以∠AEF＝∠AFE，

所以AE＝AF，即△AEF是等腰三角形．

（2）DE＝DF．理由如下：

方法一：因?yàn)?i>AD是等腰三角形ABC的底邊上的高，所以AD也是∠BAC的平分線．

又因?yàn)椤?i>AEF是等腰三角形，所以AG是底邊EF上的高和中線，

所以AD⊥EF，GE＝GF，所以AD是線段EF的垂直平分線，所以DE＝DF.

方法二：因?yàn)?i>AD是高，所以BD＝CD（三線和一）；又因?yàn)辄c(diǎn)E、F分別是邊AB、AC上的中點(diǎn)，所以BE＝CF,又因?yàn)椤?i>B＝∠C，所以△BDE≌△CDF （SAS），所以DE＝DF.