Question

如圖所示，在△ABC中，AC與⊙O相切于點A，AC=AB=2，⊙O交BC于D．
（1）∠C=________°；
（2）BD=________；
（3）求圖中陰影部分的面積（結果用π表示）．

Answer 1

解：（1）∵AC與⊙O相切于點A，
∴∠CAB=90°，
∵AC=AB，
∴∠C=∠B=（180°-∠CAB）=45°，
故答案為：45．

（2）在Rt△ABC中，AC=AB=2，由勾股定理得：BC==2，
由切割線定理得：AC²=CD×BC，
即2²=（2-BD）×2，
解得BD=．
故答案為：．

（3）連接OD．則OD=OB=OA=AB=1，
∵BC=2，BD=，
∴CD=BD=，
∵OB=OA，
∴OD∥AC，
∴∠BOD=∠A=90°=∠AOD，
∴陰影部分的面積是S_扇形BOD-S_△BOD+S_梯形DOAC-S_扇形DOA
=-×1×1+×（1+2）×1-
=1．
分析：（1）根據(jù)切線性質(zhì)求出∠A，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出∠C=∠B，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出即可；
（2）根據(jù)勾股定理求出BC，根據(jù)切割線定理得出AC²=CD×BC，代入求出即可；
（3）求出BD=CD，根據(jù)三角形的中位線定理求出OD∥AC，求出∠BOD=∠DOA=90°，分別求出扇形BOD和扇形ODA，梯形DOAC，三角形ODB的面積，即可求出陰影部分的面積．
點評：本題考查了三角形、扇形、梯形的面積，等腰三角形性質(zhì)，勾股定理，切割線定理，三角形的中位線等知識點，題目綜合性比較強，是一道比較好的題目．