Question

如圖①，已知在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，E為AB上任意一點(diǎn)，以CE為斜邊作等腰直角三角形CDE，連接AD，那么AD∥BC嗎？（直接回答，不用過程）
如圖②，若三角形ABC為任意等腰三角形AB=AC，E為AB上任意一點(diǎn)，△ABC∽△DEC．連接AD，那么AD∥BC嗎？若平行，請證明．若不平行，說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證AD∥BC，只需證∠DAC=∠ACB，由于△ABC和△DCE都是等腰直角三角形，所以∠DCE=∠ACB，所以∠DCA=∠ECB，又因?yàn)?span dealflag="1" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

DC

EC

=

1

2

，

AC

BC

=

1

2

，∴

DC

EC

=

AC

BC

，所以△ADC∽△DCE，所以∠DAC=∠B，所以∠DAC=∠ACB．
（2）要證AD∥BC，只需證∠DAC=∠ACB，同（1）的證明思路類似，由于△ABC∽△DEC，∴

DC

EC

=

AC

BC

，∠DCE=∠ACB，所以∠DCA=∠ECB，所以△ADC∽△DCB，所以∠DAC=∠B，所以∠DAC=∠ACB，所以AD∥BC．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠ACB=45°，

AC

BC

=

1

2

，
∵△DCE是等腰直角三角形，
∴∠DEC=∠DCE=45°，

DC

EC

=

1

2

，
∴∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB，
∴

DC

EC

=

AC

BC

，
∴△ADC∽△BEC，
∴∠DAC=∠B，
∴∠DAC=∠ACB，
∴AD∥BC．

（2）平行．
∵△ABC∽△DEC，
∴

DC

EC

=

AC

BC

，∠DCE=∠ACB，
∴∠DCA=∠ECB，
∴△ADC∽△BEC，
∴∠DAC=∠B=∠ACB，
∴AD∥BC．

點(diǎn)評：本題結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)，考查三角形的相似，利用相似三角形的性質(zhì)，證得角相等，從而證得兩直線平行，一般此類題目包括多個問題，涉及圖形也不同，但題目的證明思路常常具有共性，做題時應(yīng)注意體會．