【題目】綜合:
(1)在四邊形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E、F分別是BC、CD上的點,且∠EAF=60°,試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系. 小亮同學(xué)認(rèn)為:延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.請你按照小亮的思路寫出推理過程.
(2)如圖2,已知正方形ABCD,△AEF是正方形ABCD的內(nèi)接等邊三角形,請你找出S△ABE、S△ADF、S△CEF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
【答案】
(1)解:延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF= ∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD﹣∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△GAF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=FG,
∵FG=DG+DF=BE+DF,
∴EF=BE+DF.
(2)解:S△CEF=S△ABE+S△ADF,理由如下:
如圖,延長EB至G,使得BG=DF,連接AC,交EF于H,過E作EP⊥AG,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠ABG=∠D,
在△ABG和△ADF中,
,
∴△ABG≌△ADF(SAS),
∴BE=DF,∠DAF=∠BAG,AG=AF,
∴CE=CF,
又∵AE=AF,
∴AC垂直平分EF,且△CEF是等腰直角三角形,
設(shè)EF=2,則EH=CH=1,AE=AG=2,
∴S△CEF= EF×CH=1,
∵∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=90°﹣60°=30°,
∴PE= AE=1,
∴S△AGE= AG×PE=1,
∴S△CEF=S△AGE,
即S△CEF=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF.
【解析】(1)延長FD到點G,使DG=BE,連接AG,先證明△ABE≌△ADG,再證明△AEF≌△AGF,則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系.(2)延長EB至G,使得BG=DF,連接AC,交EF于H,過E作EP⊥AG,構(gòu)造全等三角形,再求得S△CEF= EF×CH=1,S△AGE= AG×PE=1,即可得到S△CEF=S△AGE,即S△CEF=S△ABE+S△ABG=S△ABE+S△ADF.
【考點精析】利用等邊三角形的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)對題目進行判斷即可得到答案,需要熟知等邊三角形的三個角都相等并且每個角都是60°;正方形四個角都是直角,四條邊都相等;正方形的兩條對角線相等,并且互相垂直平分,每條對角線平分一組對角;正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形;正方形的對角線與邊的夾角是45o;正方形的兩條對角線把這個正方形分成四個全等的等腰直角三角形.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(2,3)與(﹣3,﹣7).
(1)求這個一次函數(shù)的解析式;
(2)求這個一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸的交點坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=﹣2x+a與y軸交于點C (0,6),與x軸交于點B.
(1)求這條直線的解析式;
(2)直線AD與(1)中所求的直線相交于點D(﹣1,n),點A的坐標(biāo)為(﹣3,0). ①求n的值及直線AD的解析式;
②求△ABD的面積;
③點M是直線y=﹣2x+a上的一點(不與點B重合),且點M的橫坐標(biāo)為m,求△ABM的面積S與m之間的關(guān)系式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知BA=AE=DC,AD=EC,CE⊥AE,垂足為E.
(1)求證:△DCA≌△EAC;
(2)只需添加一個條件,即 ,可使四邊形ABCD為矩形.請加以證明.
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