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對于題目“如圖1,在一個直角三角形的內部作矩形ABCD,其中AB和AD在兩直角邊上,設AB=xcm,矩形ABCD的面積為ycm2,當x取何值時,y的值最大,最大值是多少?”(答案是當x=20時,y的值最大,最大值是300).小華同學提出了如下兩個問題,你能幫助他解決嗎?
如果按圖2使矩形的一邊BC在斜邊EF上,如何解答此時求出來的最大值仍是300cm2嗎?你能肯定圖1和圖2中的兩個面積最大的矩形全等嗎?請說明理由.
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分析:①已知了AB=x,可在Rt△ABE中,用AB的長和∠E的正弦值求出AE的長,進而可表示出AC的長,同理可在Rt△AOD中,用AO的長和∠E的余弦函數求出AD的長,進而可根據矩形的面積公式得出y、x的函數關系式,根據函數的性質即可求出S的最大值為300,以及此時x的值.(也可用相似三角形來求AD的長,方法不唯一).
②先根據①和②函數求出矩形各自的長和寬,然后比較即可.
解答:解:如圖2:設AB=xcm,矩形ABCD的面積為ycm2
在Rt△OEF中,sin∠E=
3
5
,
∵AB=x,∴AE=AB÷sin∠E=
5
3
x,
AO=40-AE=40-
5
3
x,
AD=AO÷cos∠DAO=AO÷cos∠E=
5
4
(40-
5
3
x)=50-
25
12
x,
∴y=AD×AB=(50-
25
12
x)x,即y=-
25
12
x2+50x
配方整理,得y=-
25
12
(x-12)2+300,
當x=12cm時,y最大=300cm2
此時矩形ABCD的長BC=25cm,顯然圖①和圖②中的矩形ABCD的面積為300cm2,
由于圖①中的矩形的長和寬分別為15cm、20cm,圖②中的矩形的長和寬分別為25cm、12cm,
所以圖①和圖②中的矩形不全等.
點評:本題是二次函數綜合題,考查了圖象面積的求法,矩形的性質等知識點.
練習冊系列答案
相關習題

科目:初中數學 來源: 題型:

27、根據提示完成解答:
題目:如圖①,②,③,④,…,是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字,按照這種規(guī)律,第5個“廣”字中的棋子個數是
15
,第n個“廣”字中的棋子個數是
2n+5

y
提示:
(1)將圖形序號1,2,3,4,…,看成變量x,相應圖形中棋子個數看成是另一個變量y,由于對于每一個x的值,y都有
唯一的值
與它對應,從而y是x的函數.
(2)列表
x 1 2 3 4
y 7 9 11 13
(3)描點連線
在右邊的直角坐標系中描出相應的點,并且用光滑的線相連.
(4)猜測:根據圖象可以猜測y是x的一次函數.據此可以求出y與x之間的函數關系式為
y=2x+1

(5)檢驗:將另外點的坐標代入成立嗎?答:
成立
(填寫“成立”或者“不成立”)
(6)由上面的解答可以知道,題目中的2個空白處應該分別填寫
15
2n+5

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖,正方形ABCD的邊長為1,AB、AD上各有一點P、Q,△APQ的周長為2,求∠PCQ.
為了解決這個問題,我們在正方形外以BC和AB延長線為邊作△CBE,使得△CBE≌△CDQ(如精英家教網圖)
(1)△CBE可以看成由△CDQ怎樣運動變化得到的?
(2)圖中PQ與PE的長度有什么關系?為什么?
(3)請用(2)的結論證明△PCQ≌△PCE;
(4)根據以上三個問題的啟發(fā),求∠PCQ的度數.
(5)對于題目中的點Q,若Q恰好是AD的中點,求BP的長.

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科目:初中數學 來源: 題型:解答題

根據提示完成解答:
題目:如圖①,②,③,④,…,是用圍棋棋子按照某種規(guī)律擺成的一行“廣”字,按照這種規(guī)律,第5個“廣”字中的棋子個數是________,第n個“廣”字中的棋子個數是________
y
提示:
(1)將圖形序號1,2,3,4,…,看成變量x,相應圖形中棋子個數看成是另一個變量y,由于對于每一個x的值,y都有________與它對應,從而y是x的函數.
(2)列表
x1234
y791113
(3)描點連線
在右邊的直角坐標系中描出相應的點,并且用光滑的線相連.
(4)猜測:根據圖象可以猜測y是x的一次函數.據此可以求出y與x之間的函數關系式為________.
(5)檢驗:將另外點的坐標代入成立嗎?答:________(填寫“成立”或者“不成立”)
(6)由上面的解答可以知道,題目中的2個空白處應該分別填寫________、________.

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科目:初中數學 來源:2009年山東省濟寧市兗州市中考數學調研試卷(解析版) 題型:解答題

(2009•兗州市模擬)對于題目“如圖1,在一個直角三角形的內部作矩形ABCD,其中AB和AD在兩直角邊上,設AB=x cm,矩形ABCD的面積為ycm2,當x取何值時,y的值最大,最大值是多少?”(答案是當x=20時,y的值最大,最大值是300).小華同學提出了如下兩個問題,你能幫助他解決嗎?
如果按圖2使矩形的一邊BC在斜邊EF上,如何解答此時求出來的最大值仍是300cm2嗎?你能肯定圖1和圖2中的兩個面積最大的矩形全等嗎?請說明理由.

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