Question

已知直線y=ax+c與拋物線y=ax²+bx+c（a≠0，b≠0）分別相交于A（0，C），B（1-b，m）兩點(diǎn)，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于C，D兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P．
（1）求a的值．
（2）如果CD=2，當(dāng)-1≤x≤1時(shí)，拋物線y=ax²+bx+c的最大值與最小值的差為4，求點(diǎn)的B坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）把B（1-b，m）分別代入y=ax+c和y=ax²+bx+c得m=a（1-b）+c，m=a（1-b）²+b（1-b）+c，
∴a（1-b）+c=a（1-b）²+b（1-b）+c，
∴（1-b）•b•（a-1）=0，
∵b≠0，1-b≠0，
∴a=1；

（2）設(shè)C點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，0），D點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，0），
∵CD=|x₁-x₂|===，
∴=2，即b²-4c=4，
∴拋物線的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為=-1，
∴拋物線的解析式為y=（x+）²-1，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-，
x=1時(shí)，y=1+b+c；x=-1時(shí)，y=1-b+c，
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在直線x=1的右側(cè)，即-＞1，解得b＜-2，
1-b+c-（1+b+c）=4，解得b=-2（舍去）；
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在直線x=1的左側(cè)（或與x=1重合），y軸的右側(cè)，即0＜-≤1，解得-2≤b＜0，
1-b+c-（-1）=4，c=2+b，
把c=2+b代入b²-4c=4得b²-4b-12=0，解得b₁=6（舍去），b₂=-2；
把b=-2代入c=2+b得c=0，
∴m=a（1-b）+c=1-（-2）+0=3，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在直線x=-1的左側(cè)，即-＜-1，解得b＞2，
1+b+c-（1-b+c）=4，解得b=2（舍去）；
當(dāng)對(duì)稱(chēng)軸在直線x=-1的右側(cè)（或與x=-1重合），y軸的左側(cè)，即-1≤-＜0，解得0＜b≤2，
1+b+c-（-1）=4，c=2-b，
把c=2-b代入b²-4c=4得b²+4b-12=0，解得b₁=-6（舍去），b₂=2；
把b=2代入c=2-b得c=0，
∴m=a（1-b）+c=1-2）+0=-1
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1），
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）或（3，3）．
分析：（1）把B點(diǎn)坐標(biāo)分別代入兩個(gè)函數(shù)解析式得到a（1-b）+c=a（1-b）²+b（1-b）+c，再易項(xiàng)后分解因式得到（1-b）•b•（a-1）=0，然后根據(jù)條件可得到a=1；
（2）先利用根與系數(shù)的關(guān)系表示CD=，則=2，即b²-4c=4，則可確定拋物線的頂點(diǎn)式為y=（x+）²-1，對(duì)稱(chēng)軸為直線x=-，
且當(dāng)x=1時(shí)，y=1+b+c；當(dāng)x=-1時(shí)，y=1-b+c，然后分類(lèi)討論：當(dāng)-＞1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得1-b+c-（1+b+c）=4，解得b=-2（舍去）；當(dāng)0＜-≤1，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)得1-b+c-（-1）=4，則c=2+b，把c=2+b代入b²-4c=4可解得b₁=6（舍去），b₂=-2；把b=-2代入c=2+b得c=0，再計(jì)算出m=a（1-b）+c=3，于是得到B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）；同類(lèi)可得當(dāng)-＜-1，解得b=2（舍去）；當(dāng)-1≤-＜0，可確定B點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合題：會(huì)求拋物線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)、拋物線與x軸的兩交點(diǎn)之間的距離；掌握拋物線的增減性和最值問(wèn)題；會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想解決問(wèn)題．