Question

已知x，y是兩個有理數(shù)，其倒數(shù)的和、差、積、商的四個結(jié)果中，有三個是相等的，
（1）填空：x與y的和的倒數(shù)是

 

；
（2）說明理由．

Answer 1

分析：先由倒數(shù)的定義可知倒數(shù)和不等于倒數(shù)差，必然是和或差中的其中一個結(jié)果與倒數(shù)積、倒數(shù)商相等，再分倒數(shù)和與積、商相等；倒數(shù)差與積、商相等兩種情況討論求解．

解答：解：倒數(shù)和為

1

x

+

1

y

，倒數(shù)差為

1

x

-

1

y

，倒數(shù)積為

1

xy

，倒數(shù)商為

y

x

，
x，y有倒數(shù)，所以x，y不等于0，
所以其倒數(shù)和不等于倒數(shù)差，
所以必然是和或差中的其中一個結(jié)果與倒數(shù)積、倒數(shù)商相等，
所以

1

xy

=

y

x

，
y=1或-1．
如果是倒數(shù)和與積、商相等，則

1

x

+

1

y

=

1

xy

，x=1-y，當(dāng)y=1時，x=0不可取，所以y=-1，x=2；
如果是倒數(shù)差與積、商相等，則

1

x

-

1

y

=

1

xy

，x=y-1，當(dāng)y=1時，x=0不可取，所以y=-1，x=-2．
所以y=-1，x=2或-2，
則

1

x+y

=1或-

1

3

．
故答案為：1或-

1

3

．

點(diǎn)評：考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，得出倒數(shù)和不等于倒數(shù)差是解題的關(guān)鍵，同時注意分類思想的運(yùn)用，有一定的難度．