Question

如圖，正方形ABCD的邊長為3a，兩動點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動，與△BCF相應(yīng)的△EGH在運動過程中始終保持△EGH≌△BCF，對應(yīng)邊EG=BC，B、E、C、G在一直線上．
（1）若BE=a，求DH的長；
（2）當(dāng)E點在BC邊上的什么位置時，△DHE的面積取得最小值？并求該三角形面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）可通過構(gòu)建直角三角形求解．連接FH，則FH∥BE且FH=BE，F(xiàn)H⊥CD．因此三角形DFH為直角三角形．
點E、F分別從頂點B、C同時開始以相同速度沿BC、CD運動，那么DF=3a-a=2a，DF=2a，F(xiàn)H=a，根據(jù)勾股定理就求出了DH的長．
（2）設(shè)BE=x，△DHE的面積為y，通過三角形DHE的面積=三角形CDE的面積+梯形CDHG的面積-三角形EGH的面積，來得出關(guān)于x，y的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求出y取最小值時x的值，并求出此時y的值．

解答：解：（1）連接FH，則FH∥BE且FH=BE，
在Rt△DFH中，DF=3a-a=2a，F(xiàn)H=a，∠DFH=90°，
所以，DH=

DF2+FH2

=

5

a；

（2）設(shè)BE=x，△DHE的面積為y，
依題意y=S_△CDE+S_梯形CDHG-S_△EGH
=

1

2

×3a×（3a-x）+

1

2

×（3a+x）×x-

1

2

×3a×x
=

1

2

x²-

3

2

ax+

9

2

a²
y=

1

2

x²-

3

2

ax+

9

2

a²=

1

2

（x-

3

2

a）²+

27

8

a²
當(dāng)x=

3

2

a，即BE=

1

2

BC，E是BC的中點時，y取最小值，△DHE的面積y的最小值為

27

8

a²．

點評：本題主要考查了正方形的性質(zhì)，二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識點．