【題目】如圖,∠BAC=90°,以AB為直徑作⊙O,BD∥OC交⊙O于D點(diǎn),CD與AB的延長線交于點(diǎn)E.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)若BE=2,DE=4,求CD的長;
(3)在(2)的條件下,如圖2,AD交BC、OC分別于F、G,求的值.
【答案】(1)見解析;(2)CD=6;(3).
【解析】
試題分析:(1)連接OD,如圖1,利用平行線的性質(zhì)得∠1=∠3,∠2=∠4,加上∠3=∠4,則∠1=∠2,于是可根據(jù)“SAS”判定△CDO≌△CAO,則∠CDO=∠CAO=90°,然后根據(jù)切線的判定定理可得到CD是⊙O的切線;
(2)設(shè)⊙O半徑為r,則OD=OB=r,在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=(r+2)2,解得r=3,即OB=3,然后根據(jù)平行線分線段成比例定理,由DB∥OC得到DE:CD=BE:OB,于是可計(jì)算出CD=6;
(3)如圖3,由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6,在Rt△AOC中利用勾股定理計(jì)算出OC=3,再證明Rt△OAG∽△OCA,利用相似比計(jì)算出OG=,則CG=OC﹣OG=,易得BD=2OG=,然后利用CG∥BD得到==.
(1)證明:連接OD,如圖1,
∵BD∥OC,
∴∠1=∠3,∠2=∠4,
又∵OD=OB,
∴∠3=∠4,
∴∠1=∠2,
在△CAO和△CDO中,
,
∴△CDO≌△CAO,
∴∠CDO=∠CAO=90°,
∴CD⊥OD,
∴CD是⊙O的切線;
(2)解:設(shè)⊙O半徑為r,則OD=OB=r,
在Rt△ODE中,∵OD2+DE2=OE2,
∴r2+42=(r+2)2,解得r=3,
∴OB=3,
∵DB∥OC,
∴DE:CD=BE:OB,即4:CD=2:3,
∴CD=6;
(3)解:如圖3,
由(1)得△CDO≌△CAO,
∴AC=CD=6,
在Rt△AOC中,OC===3,
∵∠AOG=∠COA,
∴Rt△OAG∽△OCA,
∴OA:OC=OG:OA,即3:3=OG:3,
∴OG=,
∴CG=OC﹣OG=3﹣=,
∵OG∥BD,OA=OB,
∴OG為△ABD的中位線,
∴BD=2OG=,
∵CG∥BD,
∴===.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某公司銷售一種產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本價、銷售價及月銷售量如表;為了獲取更大的利潤,公司決定投入一定的資金做促銷廣告,結(jié)果發(fā)現(xiàn):每月投入的廣告費(fèi)為x萬元,產(chǎn)品的月銷售量是原銷售量的y倍,且y與x的函數(shù)圖象為如圖所示的一段拋物線.
成本價(元/件) | 銷售價(元/件) | 銷售量(萬件/月) |
2 | 3 | 9 |
(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式為 ,自變量x的取值范圍為 ;
(2)已知利潤等于銷售總額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi),要使每月銷售利潤最大,問公司應(yīng)投入多少廣告費(fèi)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】點(diǎn)B(-3,0)在( )
A. x軸的正半軸上 B. x軸的負(fù)半軸上
C. y軸的正半軸上 D. y軸的負(fù)半軸上
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=90°,D為AC邊上一點(diǎn),連接BD,AF⊥BD于點(diǎn)F,點(diǎn)E在BF上,連接AE,∠EAF=45°;
(1)如圖1,EM∥AB,分別交AF、AD于點(diǎn)Q、M,求證:FD=FQ;
(2)如圖2,連接CE,AK⊥CE于點(diǎn)K,交DE于點(diǎn)H,∠DEC=30°,HF=,求EC的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下列語句中,不是命題的是( )
A.若兩角之和為90,則這兩個角互補(bǔ) B.同角的余角相等
C.作線段的垂直平分線 D.相等的角是對頂角
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知四邊形ABCD中,∠A+∠DCB=180°,兩組對邊延長后,分別交于P、Q兩點(diǎn),∠APD、∠AQB的平分線交于M,求證:PM⊥QM.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,∠ABC=90°,D、E分別在BC、AC上,AD⊥DE,且AD=DE,點(diǎn)F是AE的中點(diǎn),F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M.
(1)求證:∠FMC=∠FCM;
(2)AD與MC垂直嗎?并說明理由.
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