Question

已知二次函數(shù)y=x²-2mx+1．記當x=c時，函數(shù)值為y_c，那么，是否存在實數(shù)m，使得對于滿足0≤x≤1的任意實數(shù)a，b，總有y_a+y_b≥1．

Answer 1

分析：求y_a+y_b≥1，實際上是求兩個函數(shù)在0≤x≤1內(nèi)的最小值之和大于或等于1，據(jù)此把問題轉(zhuǎn)化，根據(jù)對稱軸x=m，是否在0≤x≤1內(nèi)，分類討論．

解答：解：設(shè)y在0≤x≤1的最小值為M，原問題等價于2M≥1，M≥

1

2

，
二次函數(shù)y=x²-2mx+1的圖象是一條開口向上的拋的線，
①當對稱軸x=m≤0時，由圖象可知，x=0時，y_最小=1，這時1≥

1

2

成立；
②當對稱軸x=m，0＜m＜1時，由圖象可知x=m時，y_最小且y_最小=1-m²，有1-m²≥

1

2

，m²≤

1

2

，故有0＜m≤

2

2

；
③當對稱軸x=m，m≥1時，由圖象可知，x=1時，y_最小且y_最小=2-2m，這時有2-2m≥

1

2

，m≤

3

4

與m≥1矛盾．
綜上可知，滿足條件的m存在，且m的取值范圍是m≤

2

2

．

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，由于圖象開口向上，對稱軸與拋物線的交點處函數(shù)有最小值，需要根據(jù)對稱軸與x的范圍，分類討論，這些性質(zhì)和分類討論的思想要求掌握．