Question

在平面直角坐標(biāo)系中，ABOC如圖放置，點(diǎn)A、C的坐標(biāo)分別為（0，3）、（-1，0），
將ABOC繞點(diǎn)0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到A′B′OC′，若拋物線過點(diǎn)C、A、A′．
（1）求此拋物線的解析式；
（2）若p拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，使得PA′+PB′的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及PA′+PB′的最小值；
（3）若點(diǎn)M是拋物線上的一點(diǎn)，問是否存在以點(diǎn)A、A′、C′、M為頂點(diǎn)的梯形？若存在，求出此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）由旋轉(zhuǎn)不變性可知點(diǎn)A'（3，0），OA'=OA=3
設(shè)拋物線解析式為y=a（x+1）（x-3），
將點(diǎn)A（0，3）代入，則3=a（0+1）×（0-3），
解得a=-1，
故y=-（x+1）（x-3）=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知，拋物線對(duì)稱軸為
由對(duì)稱性可知點(diǎn)A'與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱∴要使PA'+PB'的值最小，只需PC+PB'的值最小
即當(dāng)點(diǎn)P在線段B'C上時(shí)．PA'+PB'的值最小
由已知有：A'B'=AB=CO=1
則點(diǎn)B'（3，-1）
設(shè)直線B'C的解析式為y=kx+b，將點(diǎn)B'、C的坐標(biāo)代入，可得，，
∴直線B'C的解析式為
當(dāng)x=1時(shí)，，
∴，此時(shí)PA'+PB'有最小值；

（3）存在
①當(dāng)AM∥C'A'時(shí)，由圖易知，AM≠C'A'，此時(shí)四邊形ACA'M是梯形
設(shè)M（m，-m²+2m+3），顯然，m＞0，過M作MF⊥AO，
則FM=m，AF=3-（-m²+2m+3）=m²-2m
易知△AFM∽△C'OA'，
∴，即，
解得m₁=0，，
∵M(jìn)（0，3）與點(diǎn)A重合，舍去．
∴．
②當(dāng)C'M∥AA'時(shí)，易知C'M≠AA'，此時(shí)四邊形AC'MA'
或AMC'A'是梯形，易得直線C'M：y=-x+1，
設(shè)M（n，-n+1），則-n+1=-n²+2n+3，解得，
∴，
綜上所述，滿足題意的M點(diǎn)有三點(diǎn)：，，．
分析：（1）由旋轉(zhuǎn)不變性可知點(diǎn)A'（3，0），OA'=OA=3，然后設(shè)出二次函數(shù)的交點(diǎn)式后用待定系數(shù)法求解即可；
（2）首先確定二次函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱性可知點(diǎn)A'與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，從而得到要使PA'+PB'的值最小，只需PC+PB'的值最小，即當(dāng)點(diǎn)P在線段B'C上時(shí)．PA'+PB'的值最小，然后求得點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（3）分當(dāng)AM∥C'A'時(shí)，得到AM≠C'A'，此時(shí)四邊形ACA'M是梯形和當(dāng)C'M∥AA'時(shí)，得到C'M≠AA'，此時(shí)四邊形AC'MA'或AMC'A'是梯形兩種情況分類討論即可確定點(diǎn)M的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值問題等知識(shí)點(diǎn)，二次函數(shù)的最值問題及存在性問題，綜合性強(qiáng)，有一定的難度．